Номер 51, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 51, страница 18.

Условие 2023.

51. Высота $BK$ параллелограмма $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AK$ и $KD$ такие, что $AK = 4$ см, $KD = 6$ см. Найдите углы и периметр параллелограмма, если $\angle ABK = 30^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано: $ABCD$ – параллелограмм, $BK$ – высота, $BK \perp AD$, $K \in AD$.
$AK = 4$ см, $KD = 6$ см, $∠ABK = 30°$.
Найти: углы $∠A, ∠B, ∠C, ∠D$ и периметр $P_{ABCD}$.

Нахождение углов параллелограмма

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (так как $BK$ – высота, то $∠AKB = 90°$). Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Следовательно, угол $A$ параллелограмма равен:
$∠A = 180° - ∠AKB - ∠ABK = 180° - 90° - 30° = 60°$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.
Следовательно:
$∠C = ∠A = 60°$ (как противолежащие углы).
$∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$ (как углы, прилежащие к стороне $AB$).
$∠D = ∠B = 120°$ (как противолежащие углы).
Ответ: углы параллелограмма равны $60°, 120°, 60°, 120°$.

Нахождение периметра параллелограмма

1. Найдем длину стороны $AD$. Она состоит из двух отрезков $AK$ и $KD$:
$AD = AK + KD = 4 + 6 = 10$ см.

2. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $AK$ лежит напротив угла $∠ABK = 30°$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является сторона $AB$.
$AK = \frac{1}{2}AB$
Отсюда находим сторону $AB$:
$AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 4 = 8$ см.

3. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны.
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (8 + 10) = 2 \cdot 18 = 36$ см.
Ответ: периметр параллелограмма равен 36 см.

Условие 2015-2022.

51. Высота $BK$ параллелограмма $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AK$ и $KD$ такие, что $AK = 4$ см, $KD = 6$ см. Найдите углы и периметр параллелограмма, если $\angle ABK = 30^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).