Номер 48, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 48, страница 18.

Условие 2023.

48. Найдите углы параллелограмма, если:

1) сумма двух его углов равна $100^\circ$;

2) разность двух его углов равна $20^\circ$;

3) два его угла относятся как $3 : 7$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1)

В параллелограмме есть два типа углов: противолежащие и смежные (прилежащие к одной стороне).

• Противолежащие углы равны.
• Сумма смежных углов равна $180°$.

Сумма двух смежных углов не может быть равна $100°$, так как она всегда равна $180°$. Следовательно, в условии говорится о двух противолежащих углах.

Пусть два противолежащих угла равны $\alpha$. По условию, их сумма равна $100°$.

$\alpha + \alpha = 100°$

$2\alpha = 100°$

$\alpha = 50°$

Итак, два угла параллелограмма равны $50°$.

Другой угол, смежный с углом $\alpha$, обозначим как $\beta$. Их сумма равна $180°$.

$\alpha + \beta = 180°$

$50° + \beta = 180°$

$\beta = 180° - 50° = 130°$

Противолежащий ему угол также равен $130°$. Таким образом, углы параллелограмма — это две пары углов: $50°$ и $130°$.

Ответ: $50°, 130°, 50°, 130°$.

2)

Разность двух противолежащих углов параллелограмма равна нулю, так как они равны. Следовательно, в условии говорится о двух смежных углах, так как $20° \neq 0$.

Пусть смежные углы параллелограмма равны $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллелограмма, их сумма равна $180°$. По условию, их разность равна $20°$. Получаем систему уравнений (предположим, что $\alpha > \beta$):

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha - \beta = 20° \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $\alpha$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180° + 20°$

$2\alpha = 200°$

$\alpha = 100°$

Теперь подставим значение $\alpha$ в первое уравнение, чтобы найти $\beta$:

$100° + \beta = 180°$

$\beta = 180° - 100° = 80°$

В параллелограмме две пары равных углов. Значит, углы параллелограмма равны $100°, 80°, 100°, 80°$.

Ответ: $80°, 100°, 80°, 100°$.

3)

Два противолежащих угла параллелограмма равны, поэтому их отношение равно $1:1$. Это не соответствует условию $3:7$. Следовательно, речь идет о двух смежных углах.

Пусть смежные углы равны $\alpha$ и $\beta$, и их отношение $\alpha : \beta = 3:7$. Можно представить эти углы как $\alpha = 3x$ и $\beta = 7x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Сумма смежных углов параллелограмма равна $180°$.

$\alpha + \beta = 180°$

$3x + 7x = 180°$

$10x = 180°$

$x = \frac{180°}{10} = 18°$

Теперь найдем величины углов:

$\alpha = 3x = 3 \cdot 18° = 54°$

$\beta = 7x = 7 \cdot 18° = 126°$

В параллелограмме две пары равных углов. Значит, углы параллелограмма равны $54°, 126°, 54°, 126°$.

Ответ: $54°, 126°, 54°, 126°$.

Условие 2015-2022.

48. Найдите углы параллелограмма, если:

1) сумма двух его углов равна $100^\circ$;

2) разность двух его углов равна $20^\circ$;

3) два его угла относятся как $3:7$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).