Номер 55, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 55, страница 18.

Условие 2023.

55. Докажите, что вершины $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ равноудалены от прямой $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что вершины $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ равноудалены от прямой $AC$, мы можем использовать метод, основанный на площади треугольников.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$.

2. По свойству параллелограмма, его диагональ делит его на два равных (конгруэнтных) треугольника. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$.

3. Так как треугольники равны, их площади также равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA}$.

4. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $h_B$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую $AC$. Тогда $h_B$ является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к стороне $AC$. Площадь этого треугольника можно выразить через его основание $AC$ и высоту $h_B$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

5. Аналогично, пусть $h_D$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $D$ на прямую $AC$. Тогда $h_D$ является высотой треугольника $\triangle CDA$, проведенной к стороне $AC$. Площадь этого треугольника равна:

$S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D$

6. Поскольку мы знаем, что площади треугольников равны ($S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA}$), мы можем приравнять правые части их формул:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D$

7. Так как $AC$ — это диагональ, ее длина не равна нулю. Поэтому мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2} \cdot AC$:

$h_B = h_D$

Равенство высот $h_B$ и $h_D$ означает, что расстояния от вершин $B$ и $D$ до прямой $AC$ равны. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Вершины $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ равноудалены от прямой $AC$, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

55. Докажите, что вершины $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ равноудалены от прямой $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).