Номер 54, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 54, страница 18.

Условие 2023.

54. Даны параллелограмм $ABCD$ и треугольник $MKN$. Могут ли одновременно выполняться равенства $\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle K$, $\angle C = \angle N$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Предположим, что данные равенства могут выполняться одновременно. Рассмотрим свойства заданных фигур.

Свойства параллелограмма ABCD:

• Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Свойство треугольника MKN:

• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle M + \angle K + \angle N = 180^\circ$.

По условию задачи, должны выполняться равенства:

• $\angle A = \angle M$
• $\angle B = \angle K$
• $\angle C = \angle N$

Используем свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне, и подставим в него равенства из условия:

$\angle A + \angle B = 180^\circ \implies \angle M + \angle K = 180^\circ$

Теперь рассмотрим сумму углов треугольника MKN:

$\angle M + \angle K + \angle N = 180^\circ$

Мы уже выяснили, что сумма углов $\angle M$ и $\angle K$ должна быть равна $180^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов треугольника:

$( \angle M + \angle K ) + \angle N = 180^\circ$

$180^\circ + \angle N = 180^\circ$

Из этого уравнения следует, что $\angle N = 0^\circ$.

Однако в любом невырожденном треугольнике каждый угол должен быть больше нуля. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Условие 2015-2022.

54. Даны параллелограмм $ABCD$ и треугольник $MKN$. Могут ли одновременно выполняться равенства $\angle A = \angle M, \angle B = \angle K, \angle C = \angle N$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).