Номер 56, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 56, страница 18.

Условие 2023.

56. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Проведем через точку $O$ произвольный отрезок $MN$, концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма. Для определенности, пусть точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $N$ — на стороне $AD$.

Дано:
$ABCD$ — параллелограмм,
$AC$ и $BD$ — диагонали,
$AC \cap BD = O$,
$MN$ — отрезок, такой что $M \in BC$, $N \in AD$, и точка $O \in MN$.

Доказать:
$MO = ON$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle MOC$ и $\triangle NOA$.
1. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$.
2. Противолежащие стороны параллелограмма параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
3. Углы $\angle MCO$ (он же $\angle BCA$) и $\angle NAO$ (он же $\angle CAD$) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle MCO = \angle NAO$.
4. Углы $\angle MOC$ и $\angle NOA$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle MOC = \angle NOA$.
Таким образом, треугольник $\triangle MOC$ равен треугольнику $\triangle NOA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $MO$ лежит напротив угла $\angle MCO$, а сторона $NO$ лежит напротив угла $\angle NAO$. Так как $\angle MCO = \angle NAO$, то и $MO = NO$.
Следовательно, точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам.
Аналогичным образом можно доказать утверждение для случая, когда концы отрезка лежат на сторонах $AB$ и $CD$, рассмотрев треугольники $\triangle POA$ и $\triangle QOC$ (где $P \in AB$, $Q \in CD$).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит пополам любой проходящий через нее отрезок, концы которого лежат на противолежащих сторонах параллелограмма.

Условие 2015-2022.

56. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).