Номер 60, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 60, страница 19.

Условие 2023.

60. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $36$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм, стороны которого обозначим как $a$ и $b$. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Его стороны — это две смежные стороны параллелограмма ($a$ и $b$) и диагональ.

По условию, диагональ образует со сторонами углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Это означает, что треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами параллелограмма, является прямоугольным, так как один из его углов равен $90^\circ$.

Пусть стороны параллелограмма, образующие этот треугольник, — это $a$ и $b$, а углы между диагональю и этими сторонами равны соответственно $90^\circ$ и $30^\circ$. Тогда третий угол этого треугольника, который также является одним из углов параллелограмма, равен:$180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В получившемся прямоугольном треугольнике одна из сторон параллелограмма является катетом, а другая — гипотенузой. Пусть сторона $a$ — это катет, лежащий против угла в $30^\circ$, а сторона $b$ — гипотенуза. Из свойства прямоугольного треугольника известно, что катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом, получаем соотношение между сторонами параллелограмма:

$a = \frac{1}{2}b$

Периметр параллелограмма задан и равен 36 см. Формула периметра: $P = 2(a+b)$.

$2(a+b) = 36$ см

$a+b = 18$ см

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:

1) $a+b=18$

2) $a = \frac{1}{2}b$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{1}{2}b + b = 18$

$\frac{3}{2}b = 18$

$b = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ см

Теперь найдем сторону $a$:

$a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см

Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см. Случай, когда сторона $b$ является катетом, а $a$ — гипотенузой, привел бы к такому же результату.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см.

Условие 2015-2022.

60. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $36 \text{ см}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).