Номер 62, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 62, страница 19.

Условие 2023.

62. Параллельно диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, а прямые $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что $PM = NK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим $ \triangle ABC $. Так как по условию прямая $PK \parallel AC$, то и отрезок $MN$, лежащий на этой прямой, параллелен $AC$ ($MN \parallel AC$).

Поскольку $MN \parallel AC$, треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ ($ \triangle BMN \sim \triangle BAC $) по двум углам ($ \angle B$ — общий, а $ \angle BMN = \angle BAC $ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} $

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $AM = AB - BM$. Аналогично, $N$ лежит на $BC$, поэтому $CN = BC - BN$. Преобразуем пропорцию:

$ \frac{AB - AM}{AB} = \frac{BC - CN}{BC} $

$ 1 - \frac{AM}{AB} = 1 - \frac{CN}{BC} $

Отсюда получаем важное соотношение:

$ \frac{AM}{AB} = \frac{CN}{BC} $, что можно записать в виде $ \frac{AM}{CN} = \frac{AB}{BC} $. (1)

Теперь рассмотрим треугольники $PAM$ и $NCK$. Сравним их углы.

Прямая $PK$ пересекает отрезки $AB$ и $BC$. Это означает, что точка $P$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $A$, а точка $K$ — на продолжении стороны $CD$ за точку $C$.

Угол $ \angle PAM $ является смежным с углом $ \angle DAB $. Значит, $ \angle PAM = 180^\circ - \angle DAB $.

Угол $ \angle NCK $ является смежным с углом $ \angle BCD $. Значит, $ \angle NCK = 180^\circ - \angle BCD $.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие углы равны ($ \angle DAB = \angle BCD $), следовательно, $ \angle PAM = \angle NCK $. (2)

Применим теорему синусов для $ \triangle PAM $:

$ \frac{PM}{\sin(\angle PAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle APM)} $

И для $ \triangle NCK $:

$ \frac{NK}{\sin(\angle NCK)} = \frac{CN}{\sin(\angle CKN)} $

Из равенства углов (2) следует, что для доказательства $PM=NK$ нам достаточно доказать, что $ \frac{AM}{\sin(\angle APM)} = \frac{CN}{\sin(\angle CKN)} $. Это равносильно $ \frac{AM}{CN} = \frac{\sin(\angle APM)}{\sin(\angle CKN)} $.

Подставляя соотношение (1), получаем, что нужно доказать:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle APM)}{\sin(\angle CKN)} $

Выразим углы $ \angle APM $ и $ \angle CKN $ через углы параллелограмма. Так как $PK \parallel AC$:

• При секущей $AD$ внутренние накрест лежащие углы $ \angle PAC $ и $ \angle APK $ равны. Угол $ \angle APK $ — это и есть $ \angle APM $, а $ \angle PAC $ совпадает с $ \angle DAC $. Таким образом, $ \angle APM = \angle DAC $.
• При секущей $CD$ внутренние накрест лежащие углы $ \angle ACK $ и $ \angle CKP $ равны. Угол $ \angle CKP $ — это и есть $ \angle CKN $, а $ \angle ACK $ совпадает с $ \angle ACD $. Таким образом, $ \angle CKN = \angle ACD $.

Значит, нам нужно доказать равенство: $ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle DAC)}{\sin(\angle ACD)} $.

Применим теорему синусов к $ \triangle ADC $:

$ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{DC}{\sin(\angle DAC)} $

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD=BC$ и $DC=AB$. Подставляем эти значения:

$ \frac{BC}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AB}{\sin(\angle DAC)} $

Перегруппировав члены, получаем искомое равенство:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle DAC)}{\sin(\angle ACD)} $

Таким образом, мы доказали, что $PM = NK$.

Ответ: Равенство $PM=NK$ доказано.

Условие 2015-2022.

62. Параллельно диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, а прямые $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что $PM = NK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).