Номер 59, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 59, страница 19.

Условие 2023.

59. Найдите углы параллелограмма $ABCD$, если $BD \perp AB$ и $BD = AB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию задачи, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, и их длины равны.

1. Из условия $BD \perp AB$ следует, что угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ является прямым. Таким образом, $\angle ABD = 90^\circ$.

2. Диагональ $BD$ делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $\angle ABD = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным.

3. По условию задачи, $BD = AB$. Это означает, что катеты в прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ равны. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle ABD$ основанием является гипотенуза $AD$, поэтому углы при основании, $\angle DAB$ и $\angle BDA$, равны. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то есть $\angle DAB + \angle BDA = 90^\circ$. Так как эти углы равны, можем записать $2 \cdot \angle DAB = 90^\circ$, откуда $\angle DAB = 45^\circ$. Следовательно, $\angle DAB = \angle BDA = 45^\circ$.

5. Теперь, зная углы треугольника $\triangle ABD$, мы можем найти углы параллелограмма $ABCD$. Угол $\angle A$ параллелограмма равен углу $\angle DAB$. Таким образом, $\angle A = 45^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 45^\circ$.

6. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Найдем угол $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Так как противолежащие углы равны, то $\angle D = \angle B = 135^\circ$.

7. Для проверки можно найти угол $\angle D$ другим способом. Угол $\angle D$ параллелограмма, то есть $\angle ADC$, состоит из двух углов: $\angle BDA$ и $\angle BDC$. Мы уже знаем, что $\angle BDA = 45^\circ$. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны, углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $BD$, а значит, они равны. Отсюда $\angle BDC = \angle ABD = 90^\circ$. Тогда полный угол $\angle D$ равен: $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$. Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\angle A = \angle C = 45^\circ$, $\angle B = \angle D = 135^\circ$.

Условие 2015-2022.

59. Найдите углы параллелограмма $ABCD$, если $BD \perp AB$ и $BD=AB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).