Номер 52, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 52, страница 18.

Условие 2023.

52. Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором острый угол $\angle A = 45^\circ$. Тогда тупой угол, прилежащий к той же стороне, $\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Из вершины тупого угла B проведем высоту BH на сторону AD. По условию задачи, $BH = 3$ см, и точка H является серединой стороны AD, то есть $AH = HD$.

эту сторону параллелограмма

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем $\angle BHA = 90^\circ$, а $\angle A = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку $\angle A = \angle ABH = 45^\circ$, треугольник $\triangle ABH$ является равнобедренным, а значит, катеты, лежащие напротив равных углов, равны: $AH = BH$. Так как по условию $BH = 3$ см, то и $AH = 3$ см. По условию, H является серединой AD, поэтому полная длина стороны $AD = 2 \cdot AH$. $AD = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Ответ: сторона параллелограмма равна 6 см.

углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма

Диагональ, соединяющая вершины тупых углов B и D, – это BD. Найдем углы, которые она образует со сторонами параллелограмма: $\angle ABD$ и $\angle BDA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$. Его катеты $BH = 3$ см, а $HD = AH = 3$ см (по доказанному выше). Так как катеты равны, $\triangle BHD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы (при гипотенузе) равны по $45^\circ$. Следовательно, $\angle BDA = 45^\circ$ и $\angle HBD = 45^\circ$. Угол $\angle ABD$ состоит из двух частей: $\angle ABD = \angle ABH + \angle HBD$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\angle ABH = 45^\circ$. Следовательно, $\angle ABD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Итак, диагональ BD образует со сторонами AB и AD углы $90^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. (Углы со сторонами CD и CB будут такими же в силу параллельности сторон параллелограмма).
Ответ: углы, которые образует диагональ со сторонами параллелограмма, равны $45^\circ$ и $90^\circ$.

Условие 2015-2022.

52. Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).