Номер 46, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 46, страница 18.

Условие 2023.

46. В параллелограмме ABCD диагональ AC образует со стороной AB угол, равный $32^\circ$, $\angle BCD = 56^\circ$. Найдите $\angle CAD$ и $\angle D$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол, равный $32^\circ$, то есть $\angle BAC = 32^\circ$. Также известно, что $\angle BCD = 56^\circ$. Необходимо найти углы $\angle CAD$ и $\angle D$.

Найти $\angle CAD$
В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, угол $\angle ACD$ равен углу $\angle BAC$.
$\angle ACD = \angle BAC = 32^\circ$.
Угол $\angle BCD$ является суммой углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$:
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$
Мы знаем $\angle BCD = 56^\circ$ и $\angle ACD = 32^\circ$, отсюда можем найти $\angle BCA$:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 56^\circ - 32^\circ = 24^\circ$.
Теперь рассмотрим другую пару параллельных сторон $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$) и ту же секущую $AC$. Углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны.
$\angle CAD = \angle BCA = 24^\circ$.
Ответ: $\angle CAD = 24^\circ$.

Найти $\angle D$
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим углы, прилежащие к стороне $CD$: $\angle BCD$ и $\angle ADC$ (или $\angle D$).
$\angle BCD + \angle D = 180^\circ$
Подставляем известное значение $\angle BCD = 56^\circ$ в уравнение:
$56^\circ + \angle D = 180^\circ$
Выражаем $\angle D$:
$\angle D = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.
Ответ: $\angle D = 124^\circ$.

Условие 2015-2022.

46. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол, равный $32^\circ$, $\angle BCD = 56^\circ$. Найдите $\angle CAD$ и $\angle D$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).