Номер 66, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 66, страница 19.

Условие 2023.

66. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону CD в точке K так, что отрезок CK в 5 раз больше отрезка KD. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $88$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, $BK$ — биссектриса угла $B$, причем точка $K$ лежит на стороне $CD$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $BK$ является секущей к этим параллельным прямым. Следовательно, накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны: $\angle ABK = \angle BKC$.

По определению, биссектриса $BK$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABK = \angle CBK$.

Из двух вышеприведенных равенств ($\angle ABK = \angle BKC$ и $\angle ABK = \angle CBK$) следует, что $\angle CBK = \angle BKC$.

Рассмотрим треугольник $BCK$. Так как в нем два угла равны ($\angle CBK = \angle BKC$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $BK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Таким образом, $BC = CK$.

Для нахождения длин сторон введем переменную. Пусть длина отрезка $KD = x$ см. Согласно условию задачи, отрезок $CK$ в 5 раз больше отрезка $KD$, следовательно, $CK = 5x$ см.

Из равенства $BC = CK$ получаем, что длина стороны $BC = 5x$ см.

Сторона $CD$ параллелограмма состоит из отрезков $CK$ и $KD$, поэтому ее длина равна их сумме: $CD = CK + KD = 5x + x = 6x$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD = 6x$ см и $AD = BC = 5x$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. Подставим известные данные в формулу: $P = 2(AB + BC)$ $88 = 2(6x + 5x)$

Теперь решим полученное уравнение: $88 = 2(11x)$ $88 = 22x$ $x = \frac{88}{22}$ $x = 4$

Зная значение $x$, найдем длины сторон параллелограмма: $AB = CD = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см. $BC = AD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 20 см и 24 см.

Условие 2015-2022.

66. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$ так, что отрезок $CK$ в 5 раз больше отрезка $KD$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 88 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).