Номер 78, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 78, страница 20.

Условие 2023.

78. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ опущен перпендикуляр $BE$ на диагональ $AC$. Через точку $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $AD$, а через точку $C$ – прямая $n$, перпендикулярная прямой $CD$. Докажите, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$BE \perp AC$, где $E$ — точка на $AC$.
Прямая $m$ проходит через точку $A$, причём $m \perp AD$.
Прямая $n$ проходит через точку $C$, причём $n \perp CD$.
Пусть $F$ — точка пересечения прямых $m$ и $n$.

Доказать:

Точка $F$ принадлежит прямой $BE$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$.
1. По условию, прямая $m$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна прямой $AD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Из двух утверждений: $m \perp AD$ и $AD \parallel BC$, следует, что прямая $m$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($m \perp BC$). Следовательно, прямая $m$ содержит высоту треугольника $ABC$, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$ (или её продолжение).
2. Аналогично, прямая $n$ проходит через вершину $C$ и перпендикулярна прямой $CD$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Из $n \perp CD$ и $AB \parallel CD$ следует, что прямая $n$ перпендикулярна прямой $AB$ ($n \perp AB$). Следовательно, прямая $n$ содержит высоту треугольника $ABC$, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$ (или её продолжение).
3. Точка $F$ по определению является точкой пересечения прямых $m$ и $n$. Таким образом, $F$ — это точка пересечения двух высот треугольника $ABC$. Точка пересечения высот треугольника называется его ортоцентром. Значит, $F$ — ортоцентр треугольника $ABC$.
4. По условию, $BE$ — перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AC$. Это означает, что $BE$ является третьей высотой треугольника $ABC$.
5. Известно, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке — в ортоцентре. Поскольку $F$ является ортоцентром треугольника $ABC$, то третья высота, проведённая из вершины $B$, также должна проходить через точку $F$. Это означает, что точка $F$ лежит на прямой $BE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано: точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$, так как она является ортоцентром треугольника $ABC$, а $BE$ — одна из его высот.

Условие 2015-2022.

78. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).