Номер 81, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 81, страница 20.

Условие 2023.

81. Через точку, принадлежащую углу, проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый внутри угла, данной точкой делился пополам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ и Дано:
Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами (лучами) $l_1$ и $l_2$. Внутри угла задана точка $M$. Требуется построить прямую, проходящую через точку $M$ и пересекающую стороны угла в точках $A$ (на $l_1$) и $B$ (на $l_2$) таким образом, чтобы отрезок $AB$ делился точкой $M$ пополам, то есть чтобы выполнялось равенство $AM = MB$.

Построение:
Алгоритм построения искомой прямой состоит из следующих шагов:
1. Соединим вершину угла $O$ с точкой $M$ и проведем луч $OM$.
2. На продолжении этого луча за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине отрезку $OM$. Таким образом, точка $M$ будет являться серединой отрезка $OD$.
3. Через полученную точку $D$ проведем прямую, параллельную стороне $l_1$ угла. Точку пересечения этой прямой со стороной $l_2$ обозначим $B$.
4. Проведем прямую через точки $B$ и $M$. Эта прямая пересечет сторону $l_1$ в некоторой точке $A$. Прямая $AB$ и является искомой.

Доказательство:
Чтобы доказать, что построенная прямая $AB$ является искомой, нужно показать, что точка $M$ — середина отрезка $AB$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MDB$.
1. $OM = MD$ по построению (шаг 2).
2. $\angle AMO = \angle BMD$ как вертикальные углы.
3. По построению (шаг 3), прямая $DB$ параллельна стороне угла $l_1$, на которой лежит отрезок $OA$. Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых ($OA \parallel DB$). Следовательно, накрест лежащие углы $\angle MAO$ и $\angle MBD$ равны.
4. Таким образом, треугольник $\triangle MOA$ равен треугольнику $\triangle MDB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам; в данном случае по стороне и двум углам - AAS).
5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AM = MB$.
Это доказывает, что отрезок $AB$, высекаемый на построенной прямой сторонами угла, делится точкой $M$ пополам.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше.

Условие 2015-2022.

81. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и высоте;

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).