Номер 2, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 2, страница 24.

Условие 2023.

2. Среди свойств и признаков параллелограмма укажите взаимно обратные теоремы.

Решение 6 (2023).

Взаимно обратные теоремы — это два утверждения, в которых условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать) меняются местами. Для параллелограмма свойства являются прямыми теоремами, а признаки — обратными.

Прямая теорема (свойство): Если четырехугольник является параллелограммом, то он обладает некоторым свойством (например, у него равны противоположные стороны).

Обратная теорема (признак): Если четырехугольник обладает некоторым свойством (например, у него равны противоположные стороны), то он является параллелограммом.

Ниже приведены пары взаимно обратных теорем, касающихся свойств и признаков параллелограмма.

Теоремы о противоположных сторонах

Прямая теорема (свойство): В параллелограмме противоположные стороны равны.
То есть, если четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, то его стороны удовлетворяют условиям $AB = CD$ и $BC = AD$.

Обратная теорема (признак): Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
То есть, если в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB = CD$ и $BC = AD$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Пара взаимно обратных теорем о равенстве двух пар противоположных сторон.

Теоремы о паре противоположных сторон

Прямая теорема (свойство): В параллелограмме противоположные стороны параллельны (по определению) и равны (по свойству). Следовательно, любые две противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
То есть, если $ABCD$ — параллелограмм, то, например, $AB || CD$ и $AB = CD$.

Обратная теорема (признак): Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
То есть, если в четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB || CD$ и $AB = CD$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Пара взаимно обратных теорем о равенстве и параллельности одной пары противоположных сторон.

Теоремы о противоположных углах

Прямая теорема (свойство): В параллелограмме противоположные углы равны.
То есть, если $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Обратная теорема (признак): Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
То есть, если в четырехугольнике $ABCD$ углы $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Пара взаимно обратных теорем о равенстве противоположных углов.

Теоремы о диагоналях

Прямая теорема (свойство): Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
То есть, если в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

Обратная теорема (признак): Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
То есть, если в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OC$ и $BO = OD$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Пара взаимно обратных теорем о диагоналях, делящихся точкой пересечения пополам.

Условие 2015-2022.

2. Среди свойств и признаков параллелограмма укажите взаимно обратные теоремы.