Номер 86, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 86, страница 24.

Условие 2023.

86. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырёхугольника, равна $180^\circ$, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан четырехугольник, вершины которого последовательно обозначены как A, B, C и D. Углы при этих вершинах обозначим соответственно $\angle{A}$, $\angle{B}$, $\angle{C}$ и $\angle{D}$.

Условие задачи гласит, что сумма углов, прилежащих к любой из сторон, равна $180^{\circ}$. Рассмотрим, например, сторону AB. Прилежащие к ней углы — это $\angle{A}$ и $\angle{B}$. Таким образом, по условию $\angle{A} + \angle{B} = 180^{\circ}$.

Теперь рассмотрим прямые, на которых лежат стороны BC и AD, и прямую, на которой лежит сторона AB, в качестве секущей. Углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$ являются внутренними односторонними углами для прямых BC и AD при секущей AB. Поскольку сумма этих углов равна $180^{\circ}$, то, по признаку параллельности прямых, прямые BC и AD параллельны. Таким образом, $BC \parallel AD$.

Аналогично, рассмотрим сторону BC. Прилежащие к ней углы — это $\angle{B}$ и $\angle{C}$. По условию, $\angle{B} + \angle{C} = 180^{\circ}$.

Рассмотрим прямые, на которых лежат стороны AB и DC, и прямую, на которой лежит сторона BC, в качестве секущей. Углы $\angle{B}$ и $\angle{C}$ являются внутренними односторонними углами для прямых AB и DC при секущей BC. Так как их сумма равна $180^{\circ}$, то прямые AB и DC параллельны. Таким образом, $AB \parallel DC$.

Мы доказали, что в четырехугольнике ABCD обе пары противолежащих сторон параллельны ($BC \parallel AD$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия следует, что при рассмотрении любой стороны как секущей для двух противолежащих сторон, сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$. Это является признаком параллельности этих сторон. Поскольку обе пары противолежащих сторон четырехугольника параллельны, он является параллелограммом по определению.

Условие 2015-2022.

86. Отрезок $AB$ равен 24 см. Точка $C$ принадлежит прямой $AB$, причём $BC = 5AC$. На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AB = 4BD$. Найдите отрезок $CD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).