Номер 90, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 90, страница 24.

Условие 2023.

90. Точки $E$ и $F$ – соответственно середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырёхугольник $AECF$.

По условию, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, мы имеем:
1. $AD = BC$ (длины сторон равны)
2. $AD \parallel BC$ (стороны параллельны)

Точка $F$ является серединой стороны $AD$, поэтому $AF = \frac{1}{2} AD$.

Точка $E$ является серединой стороны $BC$, поэтому $EC = \frac{1}{2} BC$.

Так как $AD = BC$, то и их половины равны: $AF = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC = EC$.
Таким образом, мы показали, что противолежащие стороны $AF$ и $EC$ четырёхугольника $AECF$ равны.

Поскольку $AD \parallel BC$, а отрезки $AF$ и $EC$ лежат на прямых $AD$ и $BC$ соответственно ($F \in AD$, $E \in BC$), то отрезки $AF$ и $EC$ также параллельны: $AF \parallel EC$.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $AECF$ две противолежащие стороны, $AF$ и $EC$, равны ($AF = EC$) и параллельны ($AF \parallel EC$).

Согласно признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $AECF$ является параллелограммом.

Условие 2015-2022.

90. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырёхугольника, равна 180°, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).