Номер 87, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 87, страница 24.

Условие 2023.

87. Четырёхугольники $ABCD$ и $AMKD$ – параллелограммы (рис. 35). Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ – параллелограмм.

Рис. 35

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку по условию четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $BC \parallel AD$ и $BC = AD$.

Аналогично, поскольку четырёхугольник $AMKD$ также является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $MK \parallel AD$ и $MK = AD$.

Теперь сопоставим полученные соотношения для сторон $BC$ и $MK$.

Так как $BC \parallel AD$ и $MK \parallel AD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой) получаем, что $BC \parallel MK$.

Так как $BC = AD$ и $MK = AD$, то отсюда следует, что $BC = MK$.

Мы получили, что в четырёхугольнике $BMKC$ две противоположные стороны $BC$ и $MK$ одновременно и параллельны, и равны.

По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырёхугольник $BMKC$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

87. Сколько существует неравных между собой:

1) прямоугольных треугольников со стороной 5 см и углом $45^\circ$;

2) равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом $30^\circ$;

3) прямоугольных треугольников со стороной 7 см и углом $60^\circ$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).