Номер 93, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 93, страница 25.

Условие 2023.

93. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 38) отложены равные отрезки $AM$, $BK$, $CE$ и $DF$. Докажите, что четырёхугольник $MKEF$ – параллелограмм.

Рис. 38

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник MKEF является параллелограммом, мы докажем, что его противолежащие стороны попарно равны. Для этого рассмотрим две пары треугольников: $\triangle AMF$ и $\triangle CEK$, а также $\triangle MBK$ и $\triangle EDF$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMF$ и $\triangle CEK$.
По условию, $ABCD$ — параллелограмм, следовательно, его противолежащие стороны и углы равны: $AD = BC$ и $\angle A = \angle C$.
Также по условию дано, что $AM = CE$ и $DF = BK$.
Найдем длины сторон $AF$ и $CK$:
$AF = AD - DF$
$CK = BC - BK$
Поскольку $AD = BC$ и $DF = BK$, то $AF = CK$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle AMF$ и $\triangle CEK$ мы имеем:
- $AM = CE$ (по условию)
- $AF = CK$ (по доказанному)
- $\angle A = \angle C$ (как противолежащие углы параллелограмма)
Следовательно, $\triangle AMF \cong \triangle CEK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MF = KE$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle EDF$.
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB = CD$ и $\angle B = \angle D$.
По условию $AM = CE$ и $BK = DF$.
Найдем длины сторон $MB$ и $ED$:
$MB = AB - AM$
$ED = CD - CE$
Поскольку $AB = CD$ и $AM = CE$, то $MB = ED$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle MBK$ и $\triangle EDF$ мы имеем:
- $MB = ED$ (по доказанному)
- $BK = DF$ (по условию)
- $\angle B = \angle D$ (как противолежащие углы параллелограмма)
Следовательно, $\triangle MBK \cong \triangle EDF$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $MK = EF$.

Мы доказали, что в четырехугольнике MKEF противолежащие стороны попарно равны ($MF = KE$ и $MK = EF$). Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника две пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник MKEF является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

93. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).