Номер 96, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 96, страница 25.

Условие 2023.

96. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $C$ – сторону $AD$ в точке $K$. Докажите, что четырёхугольник $AMCK$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник $AMCK$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Мы докажем, что стороны $AK$ и $MC$ равны и параллельны.

1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Так как точка $K$ лежит на прямой $AD$, а точка $M$ — на прямой $BC$, то отрезки $AK$ и $MC$ также параллельны: $AK \parallel MC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABM$. Углы $\angle BMA$ и $\angle DAM$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$. По условию, $AM$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle BAM = \angle DAM$. Из этого следует, что $\angle BMA = \angle BAM$. Следовательно, треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$, и его боковые стороны равны: $AB = BM$.

3. Аналогично, рассмотрим треугольник $CDK$. Углы $\angle CKD$ и $\angle BCK$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CK$. По условию, $CK$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle DCK = \angle BCK$. Из этого следует, что $\angle CKD = \angle DCK$. Следовательно, треугольник $CDK$ является равнобедренным с основанием $CK$, и его боковые стороны равны: $CD = DK$.

4. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.Из равенств, полученных в пунктах 2 и 3 ($AB = BM$ и $CD = DK$), а также из равенства $AB = CD$, следует, что $BM = DK$.

5. Теперь сравним длины сторон $AK$ и $MC$.$AK = AD - DK$$MC = BC - BM$Так как $AD = BC$ и $DK = BM$, то $AK = MC$.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $AMCK$ противолежащие стороны $AK$ и $MC$ параллельны и равны. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AMCK$ является параллелограммом.

Ответ: что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

96. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).