Номер 102, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 102, страница 26.

Условие 2023.

102. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $BM$ и $DK$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, а $BM$ и $DK$ — перпендикуляры, проведенные из вершин $B$ и $D$ к диагонали $AC$. Это означает, что $BM \perp AC$ и $DK \perp AC$.

Поскольку две прямые ($BM$ и $DK$) перпендикулярны третьей прямой ($AC$), они параллельны между собой. Таким образом, $BM \parallel DK$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CBM$.

1. Эти треугольники являются прямоугольными, так как $DK \perp AC$ и $BM \perp AC$, следовательно, $\angle DKA = \angle BMC = 90^\circ$.

2. Стороны $AD$ и $BC$ равны, так как они являются противолежащими сторонами параллелограмма $ABCD$. То есть, $AD = BC$.

3. Углы $\angle DAK$ и $\angle BCM$ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CBM$ равны по гипотенузе ($AD = BC$) и острому углу ($\angle DAK = \angle BCM$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $DK = BM$.

Мы установили, что в четырехугольнике $BKDM$ стороны $BM$ и $DK$ одновременно параллельны ($BM \parallel DK$) и равны ($BM = DK$).

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник $BKDM$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

Рис. 40

102. На рисунке 40 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BEC = \angle DFA$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).