Номер 107, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 107, страница 26.

Условие 2023.

107. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и высоте;

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Решение 5 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по двум сторонам и высоте

Пусть даны отрезки, задающие длины двух смежных сторон параллелограмма, a и b, и высоту h_a, проведенную к стороне a. Для построения параллелограмма ABCD со сторонами AD = a и AB = b выполним следующие шаги.

1. Проведем произвольную прямую l и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля отложим на прямой l от точки A отрезок AD, равный a.
3. Построим прямую m, параллельную прямой l и находящуюся на расстоянии h_a от нее. Для этого в произвольной точке на прямой l восставим перпендикуляр, отложим на нем отрезок длиной h_a и через его конец проведем прямую m, параллельную l. На этой прямой будет лежать сторона BC.
4. Из точки A как из центра проведем дугу окружности радиусом b. Точка пересечения этой дуги с прямой m будет вершиной B.
   Примечание: для существования решения необходимо, чтобы $b \ge h_a$. Если $b > h_a$, возможно два решения (два симметричных параллелограмма), мы выбираем одно.
5. Имея три вершины A, D и B, найдем четвертую вершину C. Для этого проведем окружность с центром в точке B радиусом a и окружность с центром в точке D радиусом b. Точка их пересечения и будет вершиной C.
6. Соединим последовательно точки A, B, C, D. Фигура ABCD — искомый параллелограмм.

Ответ: Искомый параллелограмм построен.

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам

Пусть даны отрезки: диагональ d, высота h_a (проведенная к стороне a) и высота h_b (проведенная к стороне b). Построим параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC = d, высота к стороне AB равна h_a, а высота к стороне BC равна h_b.

Построение сводится к построению треугольника ADC. В этом треугольнике известна сторона AC = d. Высота параллелограмма к стороне AB равна высоте к параллельной ей стороне CD. Таким образом, расстояние от вершины A до прямой CD равно h_a. Аналогично, расстояние от вершины C до прямой AD равно h_b.

1. Построим отрезок AC длиной d.
2. Построим окружность $k_1$ с центром в точке A и радиусом h_a. Прямая CD должна касаться этой окружности.
3. Построим окружность $k_2$ с центром в точке C и радиусом h_b. Прямая AD должна касаться этой окружности.
4. Вершина D является точкой пересечения касательной к $k_1$, проведенной из C, и касательной к $k_2$, проведенной из A.
5. Строим касательную из точки C к окружности $k_1$. Для этого строим вспомогательную окружность $k_3$ на отрезке AC как на диаметре. Точка пересечения окружностей $k_1$ и $k_3$ (назовем ее T₁) является точкой касания. Проводим прямую CT₁ — она содержит сторону CD. (Построение возможно, если $d \ge h_a$).
6. Аналогично строим касательную из точки A к окружности $k_2$. Находим точку пересечения T₂ окружностей $k_2$ и $k_3$. Проводим прямую AT₂ — она содержит сторону AD. (Построение возможно, если $d \ge h_b$).
7. Точка пересечения прямых CT₁ и AT₂ является искомой вершиной D.
8. Найдя вершины A, C, D, строим четвертую вершину B. Для этого проведем через A прямую, параллельную CD, и через C прямую, параллельную AD. Их пересечение даст точку B.
9. Соединяем вершины A, B, C, D. Параллелограмм ABCD построен.

Ответ: Искомый параллелограмм построен.

Условие 2015-2022.

107. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых $AN$, $BK$, $CP$ и $DM$, – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).