Номер 110, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 110, страница 26.

Условие 2023.

110. Учитель предложил ученику вырезать из листа картона размером $8 \times 8$ клеток восемь квадратов размером $2 \times 2$ клетки при условии не портить клетки, которые остались. Потом оказалось, что нужен ещё один такой квадрат. Всегда ли можно вырезать его из остатков листа?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Нет, не всегда можно вырезать еще один квадрат. Чтобы доказать это, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), когда после вырезания восьми квадратов $2 \times 2$ из листа $8 \times 8$ не остается ни одного целого квадрата $2 \times 2$.

Для начала проанализируем задачу:

• Площадь исходного листа картона: $8 \times 8 = 64$ клетки.
• Площадь одного вырезаемого квадрата: $2 \times 2 = 4$ клетки.
• Общая площадь восьми вырезанных квадратов: $8 \times 4 = 32$ клетки.
• Площадь оставшейся части картона: $64 - 32 = 32$ клетки.
• Для вырезания девятого квадрата требуется цельный участок площадью $4$ клетки. Суммарной площади в остатках (32 клетки) более чем достаточно, поэтому вопрос заключается в геометрии расположения этих остатков.

Контрпример:

Рассмотрим специальное расположение восьми вырезаемых квадратов. Пронумеруем строки и столбцы сетки от 1 до 8. Квадрат $2 \times 2$ можно однозначно определить по координатам его левой верхней клетки $(i, j)$, где $i$ и $j$ могут принимать значения от 1 до 7.

Можно расположить 8 вырезаемых квадратов таким образом, чтобы они "портили" все возможные места для девятого квадрата. Один из таких способов — расположить вырезаемые квадраты по следующей схеме (указаны координаты левых верхних углов):

• (2, 2)
• (2, 5)
• (2, 7)
• (5, 2)
• (5, 5)
• (5, 7)
• (7, 2)
• (7, 5)

Объяснение, почему это работает:

Любой квадрат $2 \times 2$ на сетке $8 \times 8$ определяется своим левым верхним углом $(i, j)$, где $1 \le i \le 7$ и $1 \le j \le 7$. Всего существует $7 \times 7 = 49$ возможных положений для такого квадрата.

Когда мы вырезаем квадрат с левым верхним углом в точке $(r, c)$, мы делаем невозможным вырезание любого квадрата, чей левый верхний угол находится в точках $(r-1, c-1), (r-1, c), (r-1, c+1), (r, c-1), (r, c), (r, c+1), (r+1, c-1), (r+1, c), (r+1, c+1)$ (в пределах сетки $7 \times 7$).

Выбранные нами 8 точек для вырезания расположены так, что их "зоны влияния" (блоки $3 \times 3$ с центрами в этих точках) полностью покрывают всю сетку $7 \times 7$ возможных положений. Таким образом, после вырезания этих восьми квадратов не остается ни одного "свободного" места для левого верхнего угла девятого квадрата.

Следовательно, существует как минимум один способ вырезать 8 квадратов так, что девятый квадрат вырезать уже невозможно.

Ответ: Нет, не всегда. Можно расположить восемь вырезаемых квадратов $2 \times 2$ таким образом, что в оставшихся кусках картона не останется ни одного целого участка размером $2 \times 2$ клетки.

Условие 2015-2022.

110. Учитель предложил ученику вырезать из листа картона размером $8 \times 8$ клеток восемь квадратов размером $2 \times 2$ клетки при условии не портить клетки, которые остались. Потом оказалось, что нужен ещё один такой квадрат. Всегда ли можно вырезать его из остатков листа?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).