Номер 112, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 112, страница 31.

Условие 2023.

112. Докажите, что четырёхугольник, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Следовательно, чтобы доказать, что четырёхугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником, нам нужно показать, что он является параллелограммом.

Пусть нам дан четырёхугольник $ABCD$, у которого все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

1. Рассмотрим стороны $AD$ и $BC$. Прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle A$ и $\angle B$ — внутренние односторонние. Найдём их сумму: $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. По признаку параллельности двух прямых, если сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух прямых секущей равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Рассмотрим стороны $AB$ и $DC$. Прямая $AD$ является для них секущей. Углы $\angle A$ и $\angle D$ — внутренние односторонние. Найдём их сумму: $\angle A + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. По тому же признаку параллельности прямых, $AB \parallel DC$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$), то по определению он является параллелограммом.

Таким образом, мы имеем параллелограмм ($ABCD$), у которого все углы прямые (по условию задачи). Такой параллелограмм по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, является параллелограммом, так как сумма односторонних внутренних углов при каждой стороне как секущей равна $180^\circ$, что доказывает попарную параллельность противолежащих сторон. Параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником по определению.

Условие 2015-2022.

112. Докажите, что четырёхугольник, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).