Номер 115, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 115, страница 31.

Условие 2023.

115. Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке O, $\angle ADB = 30^{\circ}$, $BD = 10$ см. Найдите периметр треугольника AOB.

Рис. 46

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку ABCD является прямоугольником, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Дано, что длина диагонали $BD = 10$ см. Следовательно, отрезки, на которые она делится точкой пересечения O, равны: $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Так как диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$), то и их половины равны: $AO = BO = CO = DO = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как ABCD - прямоугольник). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Нам известен угол $\angle ADB = 30^\circ$. Можем найти угол $\angle ABD$: $\angle ABD = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Мы уже знаем, что стороны $AO$ и $BO$ равны 5 см, значит, треугольник AOB — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle AOB$ основанием является сторона AB, следовательно, углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны. $\angle OBA$ это тот же угол, что и $\angle ABD$, поэтому $\angle OBA = 60^\circ$. Отсюда следует, что $\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника AOB, $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в треугольнике AOB равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = AO = BO = 5$ см.

Периметр треугольника AOB равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle AOB} = AB + AO + BO = 5 + 5 + 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

Условие 2015-2022.

Рис. 46

115. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (см. рис. 46) пересекаются в точке $O$, $\angle ADB = 30^{\circ}$, $BD = 10$ см. Найдите периметр треугольника $AOB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).