Номер 116, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 116, страница 31.

Условие 2023.

116. Угол между диагоналями прямоугольника равен $60^\circ$, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке О. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки, соединяющие точку пересечения с вершинами, равны между собой.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной прямоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны – это половины диагоналей.

По условию, угол между диагоналями равен $60^\circ$. В треугольнике, который мы рассматриваем, этот угол является углом при вершине (между равными сторонами). Меньшая сторона прямоугольника лежит напротив острого угла между диагоналями, поэтому угол при вершине этого равнобедренного треугольника равен $60^\circ$.

Найдем углы при основании этого треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:
$(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна половине диагонали.

Меньшая сторона по условию равна 8 см. Значит, половина диагонали также равна 8 см.

Полная длина диагонали равна удвоенной длине ее половины:
$d = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: 16 см.

Условие 2015-2022.

116. Угол между диагоналями прямоугольника равен $60^\circ$, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).