Номер 114, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 114, страница 31.

Условие 2023.

114. Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке O, $\angle ABD = 64^\circ$. Найдите $\angle COD$ и $\angle AOD$.

Рис. 46

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его диагонали $AC$ и $BD$ равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

$\angle COD$

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$. По условию $\angle ABD = 64^\circ$, значит $\angle OBA = 64^\circ$ и $\angle OAB = 64^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $AOB$ получаем: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Углы $\angle COD$ и $\angle AOB$ являются вертикальными, а вертикальные углы равны. Следовательно, $\angle COD = \angle AOB = 52^\circ$.

Ответ: $52^\circ$

$\angle AOD$

Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол вдоль диагонали $BD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle AOB = 52^\circ$, поэтому: $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Альтернативное решение: Рассмотрим треугольник $AOD$. Он равнобедренный, так как $AO = DO$. Угол $\angle DAB$ прямой и равен $90^\circ$. Угол $\angle OAD = \angle DAB - \angle OAB = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$. Так как треугольник $AOD$ равнобедренный, $\angle ODA = \angle OAD = 26^\circ$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Ответ: $128^\circ$

Условие 2015-2022.

Рис. 46

114. Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке O, $\angle ABD = 64^\circ$. Найдите $\angle COD$ и $\angle AOD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).