Номер 3, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 30.

Условие 2023.

3. Каким особым свойством обладают диагонали прямоугольника?

Решение 6 (2023).

3.

Основное особое свойство, которым обладают диагонали прямоугольника и которое отличает его от произвольного параллелограмма, — это их равенство.

Чтобы доказать это, рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами AB, BC, CD, AD и диагоналями AC и BD.

Доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

• Сторона AB равна стороне DC (как противоположные стороны прямоугольника).
• Сторона AD является общей для обоих треугольников.
• Углы $\angle DAB$ и $\angle ADC$ равны, так как все углы прямоугольника прямые ($90^\circ$).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, гипотенуз:

$AC = BD$

Доказательство через теорему Пифагора:

Пусть длина стороны AD = BC = $a$ и длина стороны AB = CD = $b$.

• Из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ по теореме Пифагора находим квадрат диагонали BD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = b^2 + a^2$.
• Из прямоугольного треугольника $\triangle ACD$ по теореме Пифагора находим квадрат диагонали AC: $AC^2 = CD^2 + AD^2 = b^2 + a^2$.

Так как правые части выражений равны, то $BD^2 = AC^2$, а поскольку длины отрезков — положительные величины, то $BD = AC$.

Стоит отметить, что диагонали прямоугольника также обладают свойствами диагоналей любого параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. В совокупности с их равенством это означает, что точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин прямоугольника.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны между собой.

Условие 2015-2022.

3. Каким особым свойством обладают диагонали прямоугольника?