Номер 120, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 120, страница 31.

Условие 2023.

120. Периметр прямоугольника $ABCD$ равен 30 см. Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$, принадлежащей стороне $BC$. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 30 см, следовательно, $2(a + b) = 30$, откуда получаем первое соотношение между сторонами: $a + b = 15$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку $ABCD$ — это прямоугольник, все его углы прямые, т.е. $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$. Так как $AM$ является биссектрисой угла $A$, она делит его на два равных угла: $\angle BAM = \angle DAM = \frac{90°}{2} = 45°$.

Противоположные стороны прямоугольника параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DAM$ и $\angle AMB$ — это внутренние накрест лежащие углы, следовательно, они равны: $\angle AMB = \angle DAM = 45°$.

В треугольнике $ABM$ мы имеем два равных угла: $\angle BAM = \angle AMB = 45°$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BM$. Так как $AB = a$, то и $BM = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDM$. Аналогично, $DM$ — биссектриса угла $D$, поэтому $\angle CDM = \angle ADM = \frac{90°}{2} = 45°$.

При параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DM$ углы $\angle ADM$ и $\angle CMD$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle CMD = \angle ADM = 45°$.

Таким образом, в треугольнике $CDM$ также есть два равных угла: $\angle CDM = \angle CMD = 45°$. Следовательно, треугольник $CDM$ — равнобедренный, и $CD = CM$. Так как $CD = a$, то и $CM = a$.

По условию, точка $M$ лежит на стороне $BC$. Это значит, что длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $CM$.
$BC = BM + CM$
Подставляя известные нам значения, получаем: $b = a + a$, то есть $b = 2a$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:
1) $a + b = 15$
2) $b = 2a$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:
$a + (2a) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$ см.

Зная $a$, находим $b$:
$b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны 5 см и 10 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 10 см.

Условие 2015-2022.

120. Периметр прямоугольника $ABCD$ равен 30 см. Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$, принадлежащей стороне $BC$. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).