Номер 122, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 122, страница 31.

Условие 2023.

122. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Проведём медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. Требуется доказать, что длина медианы $CM$ равна половине длины гипотенузы $AB$, то есть $CM = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство:

Опишем окружность вокруг треугольника $ABC$. Согласно свойству прямоугольного треугольника, центр окружности, описанной около него, всегда находится на середине его гипотенузы.

Таким образом, точка $M$ — середина гипотенузы $AB$ — является центром описанной окружности.

Все три вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$) лежат на этой окружности. Расстояние от центра окружности до любой её точки равно радиусу ($R$). Следовательно, отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются радиусами этой окружности.

Отсюда следует, что их длины равны: $MA = MB = MC = R$.

Поскольку точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$.

Так как $CM = AM$, мы можем заключить, что $CM = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, утверждение доказано: медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

122. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 6$ см. Прямоугольник $CMKN$ построен так, что точка $M$ принадлежит катету $AC$, точка $N$ – катету $BC$, а точка $K$ – гипотенузе $AB$. Найдите периметр прямоугольника $CMKN$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).