Номер 123, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 123, страница 31.

Условие 2023.

123. Постройте прямоугольник:

1) по двум сторонам;

2) по диагонали и углу между диагональю и стороной.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по двум сторонам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны a и b – стороны будущего прямоугольника. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля отложим от точки A на прямой отрезок AB, равный стороне a.
3. В точке A восстановим перпендикуляр к прямой AB. Для этого построим окружность с центром в A и произвольным радиусом, пересекающую прямую в двух точках. Из этих двух точек как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку A и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой AB.
4. На построенном перпендикуляре от точки A отложим отрезок AD, равный стороне b.
5. Теперь необходимо найти четвертую вершину C. Для этого построим окружность с центром в точке D и радиусом, равным a.
6. Затем построим окружность с центром в точке B и радиусом, равным b.
7. Точка пересечения этих двух окружностей и будет вершиной C.
8. Соединим отрезками точки B с C и D с C.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником. По построению, его стороны AB и DC равны a, стороны AD и BC равны b, а угол $\angle DAB = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник ABCD построен.

2) по диагонали и углу между диагональю и стороной

Пусть даны отрезок длиной d (диагональ) и угол $\alpha$ (угол между диагональю и стороной). Пусть искомый прямоугольник — ABCD, его диагональ AC = d, а угол между диагональю AC и стороной AB равен $\alpha$, то есть $\angle CAB = \alpha$.

В прямоугольнике все углы прямые, поэтому треугольник ABC является прямоугольным с $\angle ABC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AC (равная d) и прилежащий к ней острый угол $\angle CAB$ (равный $\alpha$). Геометрическое место точек, из которых данный отрезок (в нашем случае AC) виден под прямым углом, есть окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре.

Алгоритм построения:

1. Начертим отрезок AC длиной d.
2. Построим окружность, для которой отрезок AC является диаметром. Для этого найдем середину O отрезка AC (с помощью построения серединного перпендикуляра) и проведем окружность с центром в O и радиусом OA (равным $d/2$).
3. От луча AC отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч AX так, чтобы $\angle CAX = \alpha$.
4. Точка пересечения луча AX с построенной окружностью будет третьей вершиной прямоугольника — точкой B. (Задача имеет два решения, симметричных относительно диагонали AC, мы выбираем одно).
5. Теперь, имея три вершины A, B и C, найдем четвертую вершину D. Для этого построим окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка BC.
6. Затем построим окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка AB.
7. Точка пересечения этих двух окружностей (отличная от B) и будет искомой вершиной D.
8. Соединим последовательно точки A, B, C и D.

Четырехугольник ABCD — искомый прямоугольник. По построению, точка B лежит на окружности с диаметром AC, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Угол $\angle CAB = \alpha$. Так как по построению AB = CD и BC = DA, то ABCD — параллелограмм. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник ABCD построен.

Условие 2015-2022.

123. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).