Номер 125, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 125, страница 32.

Условие 2023.

125. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник $ABCD$ построен так, что две его вершины $A$ и $D$ принадлежат гипотенузе, а две другие – катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если $AB : BC = 3 : 5$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $\triangle PQR$ с прямым углом при вершине $R$ и гипотенузой $PQ = 55$ см. Так как треугольник является равнобедренным, его углы при гипотенузе равны: $\angle P = \angle Q = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

В треугольник вписан прямоугольник $ABCD$ таким образом, что его вершины $A$ и $D$ лежат на гипотенузе $PQ$, а две другие вершины, $B$ и $C$, лежат на катетах. Пусть вершина $B$ лежит на катете $QR$, а вершина $C$ — на катете $PR$.

Стороны прямоугольника, перпендикулярные гипотенузе, обозначим как $h = AB = CD$. Стороны, параллельные гипотенузе, обозначим как $w = AD = BC$.

Согласно условию, соотношение сторон прямоугольника составляет $AB : BC = 3 : 5$. Используя наши обозначения, получаем $h : w = 3 : 5$. Из этого соотношения мы можем выразить $h$ через $w$:

$h = \frac{3}{5}w$

Теперь рассмотрим два малых прямоугольных треугольника, которые образуются по краям прямоугольника. Пусть вершины на гипотенузе расположены в порядке $P, D, A, Q$.

Треугольник $\triangle PDC$ является прямоугольным, поскольку сторона $CD$ прямоугольника перпендикулярна гипотенузе $PQ$. Угол $\angle P$ равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол равен $45^\circ$, а сам треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $PD = CD = h$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle QAB$. Он также является прямоугольным ($AB \perp PQ$), и угол $\angle Q = 45^\circ$. Это означает, что $\triangle QAB$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: $QA = AB = h$.

Гипотенуза большого треугольника $PQ$ состоит из трех отрезков: $PD$, $DA$ и $AQ$. Мы можем записать:

$PQ = PD + DA + AQ$

Подставляя известные нам значения и выражения, получаем уравнение:

$55 = h + w + h$

$55 = 2h + w$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $w$:

1) $2h + w = 55$

2) $h = \frac{3}{5}w$

Подставим выражение для $h$ из второго уравнения в первое:

$2 \cdot (\frac{3}{5}w) + w = 55$

$\frac{6}{5}w + w = 55$

$\frac{6w + 5w}{5} = 55$

$\frac{11w}{5} = 55$

$w = \frac{55 \cdot 5}{11} = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Теперь найдем вторую сторону $h$:

$h = \frac{3}{5}w = \frac{3}{5} \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны 15 см и 25 см. В соответствии с условием $AB:BC=3:5$, получаем $AB = h = 15$ см и $BC = w = 25$ см. Соотношение $15:25$ действительно равно $3:5$.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 25 см.

Условие 2015-2022.

125. Постройте прямоугольник:

1) по двум сторонам;

2) по диагонали и углу между диагональю и стороной.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).