Номер 126, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 126, страница 32.

Условие 2023.

126. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 6$ см. Прямоугольник $CMKN$ построен так, что точка $M$ принадлежит катету $AC$, точка $N$ – катету $BC$, а точка $K$ – гипотенузе $AB$. Найдите периметр прямоугольника $CMKN$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ и катеты $AC = BC = 6$ см, он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при основании такого треугольника равны. Найдем их величину из свойства о сумме углов треугольника:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$2 \cdot \angle A + 90^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle A = 90^\circ$
$\angle A = 45^\circ$.
Следовательно, $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан прямоугольник $CMKN$. По определению прямоугольника, его стороны попарно параллельны, то есть $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник $AMK$. Так как $MK \parallel BC$ и прямая $AC$ является секущей, а $AC \perp BC$, то $MK \perp AC$. Это означает, что треугольник $AMK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMK = 90^\circ$.
В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle A = 45^\circ$ и $\angle AMK = 90^\circ$. Найдем третий угол $\angle AKM$:
$\angle AKM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $AMK$ два угла равны ($\angle A = \angle AKM = 45^\circ$), он является равнобедренным. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AM = MK$.

Периметр прямоугольника $CMKN$ вычисляется по формуле:
$P_{CMKN} = 2 \cdot (CM + MK)$.
Так как мы доказали, что $MK = AM$, мы можем подставить это в формулу периметра:
$P_{CMKN} = 2 \cdot (CM + AM)$.

Точка $M$ лежит на катете $AC$, поэтому сумма длин отрезков $CM$ и $AM$ равна длине всего катета $AC$:
$CM + AM = AC = 6$ см.

Подставляя это значение в выражение для периметра, получаем окончательный результат:
$P_{CMKN} = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

126. Постройте прямоугольник:

1) по стороне и диагонали;

2) по диагонали и углу между диагоналями.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).