Номер 133, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 133, страница 32.

Условие 2023.

133. На стороне AC треугольника ABC отметили точку D так, что $\angle A = \angle CBD$. Найдите угол ABC, если треугольники ABD и BCD ещё имеют равные углы.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Обозначим углы треугольников. Пусть в треугольнике ABC угол при вершине A равен $ \alpha $, то есть $ \angle A = \alpha $. Согласно условию задачи, на стороне AC отмечена точка D так, что $ \angle CBD = \angle A $. Следовательно, $ \angle CBD = \alpha $.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок BD делит треугольник ABC: $ \triangle ABD $ и $ \triangle BCD $. Углы в $ \triangle ABD $: $ \angle A = \alpha $, $ \angle ABD $, $ \angle ADB $. Углы в $ \triangle BCD $: $ \angle CBD = \alpha $, $ \angle C $, $ \angle BDC $.

Углы $ \angle ADB $ и $ \angle BDC $ являются смежными, так как точка D лежит на отрезке AC. Поэтому их сумма равна $ 180^\circ $: $ \angle ADB + \angle BDC = 180^\circ $.

В условии сказано, что треугольники ABD и BCD "ещё имеют равные углы". Это означает, что помимо уже известной пары равных углов ($ \angle A = \angle CBD $), существует ещё как минимум одна пара равных углов, один из которых принадлежит $ \triangle ABD $, а другой — $ \triangle BCD $. Сравним оставшиеся углы: { $ \angle ABD $, $ \angle ADB $ } из $ \triangle ABD $ и { $ \angle C $, $ \angle BDC $ } из $ \triangle BCD $. Рассмотрим все возможные случаи равенства этих углов.

Случай 1: $ \angle ABD = \angle C $

Пусть $ \angle ABD = \beta $. Тогда $ \angle C = \beta $. Угол $ \angle ABC $ является суммой углов $ \angle ABD $ и $ \angle CBD $. $ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = \beta + \alpha $. Рассмотрим сумму углов в исходном треугольнике $ \triangle ABC $: $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ $ Подставим наши обозначения: $ \alpha + (\beta + \alpha) + \beta = 180^\circ $ $ 2\alpha + 2\beta = 180^\circ $ $ 2(\alpha + \beta) = 180^\circ $ $ \alpha + \beta = 90^\circ $ Так как $ \angle ABC = \alpha + \beta $, то $ \angle ABC = 90^\circ $.

Случай 2: $ \angle ADB = \angle BDC $

Поскольку эти углы смежные, их равенство возможно только если каждый из них равен $ 90^\circ $. $ \angle ADB = \angle BDC = 90^\circ $. Это означает, что BD является высотой треугольника ABC, проведенной к стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABD $. Сумма его острых углов равна $ 90^\circ $: $ \angle A + \angle ABD = 90^\circ \implies \alpha + \angle ABD = 90^\circ \implies \angle ABD = 90^\circ - \alpha $. Теперь найдем искомый угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = (90^\circ - \alpha) + \alpha = 90^\circ $. (В этом случае мы также можем найти угол C из прямоугольного $ \triangle BCD $: $ \angle C = 90^\circ - \alpha $. Заметим, что тогда $ \angle ABD = \angle C $, что делает этот случай идентичным первому).

Случай 3: $ \angle ADB = \angle C $

Пусть $ \angle ADB = \gamma $, тогда $ \angle C = \gamma $. Угол $ \angle BDC $ смежный с $ \angle ADB $, поэтому $ \angle BDC = 180^\circ - \gamma $. Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ \triangle BCD $: $ \angle CBD + \angle C + \angle BDC = 180^\circ $ Подставим известные значения: $ \alpha + \gamma + (180^\circ - \gamma) = 180^\circ $ $ \alpha + 180^\circ = 180^\circ $ $ \alpha = 0^\circ $. Угол в треугольнике не может быть равен нулю. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 4: $ \angle ABD = \angle BDC $

Пусть $ \angle ABD = \beta $, тогда $ \angle BDC = \beta $. Угол $ \angle ADB $ смежный с $ \angle BDC $, поэтому $ \angle ADB = 180^\circ - \beta $. Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ \triangle ABD $: $ \angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ $ Подставим известные значения: $ \alpha + \beta + (180^\circ - \beta) = 180^\circ $ $ \alpha + 180^\circ = 180^\circ $ $ \alpha = 0^\circ $. Этот случай также невозможен.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты для "других равных углов". Два из них приводят к противоречию, а два других (которые, по сути, описывают одну и ту же геометрическую конфигурацию) дают единственно возможный результат.

Ответ: $ 90^\circ $.

Условие 2015-2022.

133. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle A = \angle CBD$. Найдите угол $ABC$, если треугольники $ABD$ и $BCD$ ещё имеют равные углы.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).