Номер 136, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 136, страница 34.

Условие 2023.

136. Начертите ромб со стороной 5 см и углом $40^\circ$. Проведите две высоты из вершины его острого угла и две высоты из вершины тупого угла.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Начертите ромб со стороной 5 см и углом 40°

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. По условию, сторона ромба равна 5 см, а один из углов — $40^\circ$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки начертим отрезок AB длиной 5 см.
2. От точки A с помощью транспортира отложим угол, равный $40^\circ$.
3. На второй стороне этого угла отложим отрезок AD длиной 5 см.
4. Из точки B проведем дугу окружности радиусом 5 см, а из точки D — дугу окружности таким же радиусом.
5. Точку пересечения дуг обозначим C.
6. Соединим отрезками вершины B с C и D с C. Полученный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

Найдем остальные углы ромба. Так как $40^\circ < 90^\circ$, это острый угол. Пусть $\angle A = 40^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, значит, $\angle C = 40^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому тупые углы будут равны $\angle B = \angle D = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: Построен ромб ABCD со стороной 5 см, острыми углами $\angle A = \angle C = 40^\circ$ и тупыми углами $\angle B = \angle D = 140^\circ$.

Проведите две высоты из вершины его острого угла

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону. Выберем вершину острого угла, например, A. Высоты из этой вершины проводятся к прямым, содержащим стороны, к которым эта вершина не принадлежит, то есть к сторонам BC и CD.

1. Высота к прямой BC: Рассмотрим треугольник ABC. Угол при вершине B — тупой ($\angle B = 140^\circ$). Поэтому высота из вершины A на прямую BC упадет на ее продолжение за точку B. Продлим сторону CB за вершину B. С помощью угольника или циркуля и линейки опустим перпендикуляр из точки A на эту прямую. Обозначим основание перпендикуляра $H_1$. Отрезок $AH_1$ — первая высота.
2. Высота к прямой CD: Аналогично, в треугольнике ADC угол при вершине D — тупой ($\angle D = 140^\circ$). Поэтому высота из вершины A на прямую CD упадет на ее продолжение за точку D. Продлим сторону CD за вершину D. Опустим перпендикуляр из точки A на эту прямую. Обозначим основание перпендикуляра $H_2$. Отрезок $AH_2$ — вторая высота.

Ответ: Из вершины острого угла A проведены две высоты $AH_1$ и $AH_2$, основания которых ($H_1$ и $H_2$) лежат на продолжениях сторон BC и CD соответственно.

Проведите две высоты из вершины тупого угла

Выберем вершину тупого угла, например, B ($\angle B = 140^\circ$). Высоты из этой вершины проводятся к прямым, содержащим стороны AD и CD.

1. Высота к стороне AD: Рассмотрим треугольник ABD. Угол при вершине A — острый ($\angle A = 40^\circ$). Поэтому высота из вершины B на сторону AD упадет на сам отрезок AD. С помощью угольника опустим перпендикуляр из точки B на сторону AD. Обозначим основание перпендикуляра $H_3$. Отрезок $BH_3$ — первая высота.
2. Высота к стороне CD: Рассмотрим треугольник BCD. Угол при вершине C — острый ($\angle C = 40^\circ$). Поэтому высота из вершины B на сторону CD упадет на сам отрезок CD. Опустим перпендикуляр из точки B на сторону CD. Обозначим основание перпендикуляра $H_4$. Отрезок $BH_4$ — вторая высота.

Все четыре проведенные высоты ромба равны между собой. Их длина $h$ может быть вычислена по формуле: $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $a=5$ см — сторона ромба, а $\alpha=40^\circ$ — острый угол.

Ответ: Из вершины тупого угла B проведены две высоты $BH_3$ и $BH_4$, основания которых ($H_3$ и $H_4$) лежат на сторонах AD и CD соответственно.

Условие 2015-2022.

136. Начертите ромб со стороной 5 см и углом $40^{\circ}$. Проведите две высоты из вершины его острого угла и две высоты из вершины тупого угла.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).