Номер 3, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 34.

Условие 2023.

3. Какими особыми свойствами обладают диагонали ромба?

Решение 6 (2023).

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому его диагонали обладают свойством диагоналей любого параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме этого, у диагоналей ромба есть два особых свойства.

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны

Рассмотрим ромб ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке О. По определению ромба, все его стороны равны: AB = BC = CD = DA.

Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку стороны AB и AD равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием BD. Так как ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, точка O — середина диагонали BD. Это означает, что отрезок AO является медианой треугольника ABD, проведённой к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, AO перпендикулярна BD. А раз отрезок AO лежит на диагонали AC, то и вся диагональ AC перпендикулярна диагонали BD. Угол между диагоналями равен $90^\circ$.

Ответ: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

Рассмотрим тот же ромб ABCD с диагоналями AC и BD.

Рассмотрим треугольник ABC. Он является равнобедренным, так как стороны ромба AB и BC равны. Отрезок BO является медианой этого треугольника (поскольку диагонали в точке пересечения делятся пополам, и O — середина AC). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и биссектрисой. Следовательно, BO — биссектриса угла ABC, то есть $ \angle ABO = \angle CBO $. Аналогично можно доказать, что DO — биссектриса угла ADC. Таким образом, диагональ BD делит пополам углы B и D ромба.

Точно так же, рассмотрев равнобедренный треугольник BAD (AB = AD), можно доказать, что медиана AO является биссектрисой угла BAD ($ \angle BAO = \angle DAO $). Аналогично для треугольника BCD. Таким образом, диагональ AC делит пополам углы A и C ромба.

Ответ: Каждая диагональ ромба делит его углы пополам, то есть является биссектрисой этих углов.

Условие 2015-2022.

3. Какими особыми свойствами обладают диагонали ромба?