Номер 135, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 135, страница 32.

Условие 2023.

135. На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства воспользуемся методом вращающейся прямой. Идея состоит в том, чтобы выбрать одну из точек в качестве центра вращения, найти прямую, проходящую через эту точку и почти поровну делящую остальные точки, а затем немного сдвинуть эту прямую, чтобы получить искомое разбиение.

Пусть на плоскости задано множество $S$ из 1000 точек. Выберем произвольную точку $P_1$ из этого множества. Рассмотрим прямую $L$, проходящую через точку $P_1$, и будем вращать её вокруг $P_1$. Остальные 999 точек множества $S' = S \setminus \{P_1\}$ будут располагаться по обе стороны от прямой $L$.

Пусть $L(\theta)$ — это прямая, проходящая через $P_1$ и образующая угол $\theta$ с некоторой фиксированной осью, где $\theta \in [0, \pi)$. Для любого положения прямой $L(\theta)$, не проходящего через другие точки из $S'$, она делит плоскость на две открытые полуплоскости. Обозначим количество точек из $S'$ в этих полуплоскостях как $n_1(\theta)$ и $n_2(\theta)$. В этом случае $n_1(\theta) + n_2(\theta) = 999$.

Рассмотрим разность $f(\theta) = n_1(\theta) - n_2(\theta)$.

Проанализируем свойства этой функции:

• Поскольку сумма $n_1(\theta) + n_2(\theta) = 999$ является нечётным числом, то разность $f(\theta) = n_1(\theta) - (999 - n_1(\theta)) = 2n_1(\theta) - 999$ всегда будет нечётным целым числом.
• Значение функции $f(\theta)$ меняется только тогда, когда прямая $L(\theta)$ проходит через одну или несколько точек из множества $S'$. Такие углы $\theta$ назовём критическими. Между критическими углами функция $f(\theta)$ постоянна.
• Когда мы поворачиваем прямую на угол $\pi$, она совпадает с исходной, но полуплоскости меняются местами. То есть, $n_1(\theta + \pi) = n_2(\theta)$ и $n_2(\theta + \pi) = n_1(\theta)$. Следовательно, $f(\theta + \pi) = n_2(\theta) - n_1(\theta) = -f(\theta)$.
• Пусть в некоторый критический момент $\theta_{crit}$ прямая $L(\theta_{crit})$ проходит через $k$ точек из $S'$. При переходе через этот угол все $k$ точек перемещаются из одной полуплоскости в другую. Если до этого момента разность была $f(\theta_{crit}-\epsilon) = n_1 - n_2$, то после него она станет $f(\theta_{crit}+\epsilon) = (n_1-k) - (n_2+k) = n_1-n_2-2k$ (или $n_1-n_2+2k$). В любом случае, значение функции изменяется на чётное число.

Итак, у нас есть функция $f(\theta)$, которая принимает только нечётные целочисленные значения. При изменении аргумента от $0$ до $\pi$ она переходит от значения $f(0)$ к значению $-f(0)$, при этом изменяясь скачками на чётные величины. Если $f(0) = 0$, то это не нечётное число, что противоречит свойству функции. Значит, $f(0) \neq 0$. Тогда $f(0)$ и $-f(0)$ имеют разные знаки. Так как функция-последовательность нечётных чисел переходит от положительного значения к отрицательному (или наоборот), изменяясь на чётные шаги, она обязана принять значения 1 и -1. Например, если в какой-то момент разность была 3, а прямая прошла через одну точку ($k=1$), то новой разностью станет $3-2\cdot1 = 1$. Если она прошла через 2 точки ($k=2$), то разность станет $3-2\cdot2 = -1$.

Таким образом, обязательно найдётся такое положение прямой $L^*$, для которого разность в количестве точек по сторонам равна 1 (или -1). Без ограничения общности, пусть для прямой $L^*$ мы имеем $n_1=500$ и $n_2=499$. Эта прямая $L^*$ проходит через точку $P_1$. В одной открытой полуплоскости относительно $L^*$ находится 500 точек, а в другой — 499 точек.

Теперь совершим последний шаг. Сдвинем (параллельно перенесём) прямую $L^*$ на бесконечно малое расстояние в ту полуплоскость, где находится 500 точек. Назовём новую прямую $L'$.

• Те 500 точек, что были в первой полуплоскости, так в ней и останутся.
• Точка $P_1$, лежавшая на прямой $L^*$, окажется во второй полуплоскости.
• Те 499 точек, что были во второй полуплоскости, так в ней и останутся.

В результате, относительно новой прямой $L'$ в первой полуплоскости будет 500 точек, а во второй полуплоскости будет $499 + 1 = 500$ точек. Так как сдвиг был бесконечно малым, мы можем гарантировать, что прямая $L'$ не пройдёт ни через одну из 1000 исходных точек.

Мы построили прямую, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

135. На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).