Номер 128, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 128, страница 32.

Условие 2023.

128. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$, $AC = 18$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до диагонали $BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. По свойству прямоугольника, все его углы равны $90^{\circ}$, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Угол $\angle BCD = 90^{\circ}$. По условию задачи, $\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$. Обозначим $\angle BCA = x$, тогда $\angle DCA = 5x$. Так как $\angle BCA + \angle DCA = \angle BCD$, имеем уравнение: $$ x + 5x = 90^{\circ} $$ $$ 6x = 90^{\circ} $$ $$ x = 15^{\circ} $$ Следовательно, $\angle BCA = 15^{\circ}$ и $\angle DCA = 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$) и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $OC = OD = \frac{1}{2}AC$. По условию $AC = 18$ см, значит $OC = OD = \frac{18}{2} = 9$ см. Таким образом, треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным с основанием $CD$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OCD = \angle ODC$. Угол $\angle OCD$ совпадает с углом $\angle DCA$, поэтому $\angle OCD = 75^{\circ}$. Тогда и $\angle ODC = 75^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому угол при вершине $O$ равен: $$ \angle COD = 180^{\circ} - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} $$

Искомое расстояние от точки $C$ до диагонали $BD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $BD$. Обозначим этот перпендикуляр как $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра на прямой $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OCH$. В нем гипотенуза $OC = 9$ см, а угол $\angle COH$ равен углу $\angle COD = 30^{\circ}$. Катет $CH$ лежит напротив этого угла. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $$ \sin(\angle COH) = \frac{CH}{OC} $$ Отсюда выражаем $CH$: $$ CH = OC \cdot \sin(\angle COH) = 9 \cdot \sin(30^{\circ}) $$ Зная, что $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем: $$ CH = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5 \text{ см} $$

Ответ: 4,5 см.

Условие 2015-2022.

128. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$, $AC = 18$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до диагонали $BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).