Номер 134, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 134, страница 32.

Условие 2023.

134. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $C$ проведена прямая, которая параллельна прямой $AD$ и пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Определите вид треугольника $ACE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла: $∠BAD = ∠CAD$.

Через точку $C$ проведена прямая, параллельная прямой $AD$ (обозначим ее $CE$), которая пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Таким образом, мы имеем $AD \parallel CE$.

Рассмотрим углы, образованные этими параллельными прямыми и секущими:

1. При пересечении параллельных прямых $AD$ и $CE$ секущей $AE$ образуются равные соответственные углы: $∠BAD = ∠AEC$.

2. При пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $CE$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $∠CAD = ∠ACE$.

Теперь сопоставим полученные равенства. Мы знаем, что:
$∠BAD = ∠CAD$ (так как $AD$ — биссектриса).
Из первого пункта следует, что $∠AEC = ∠BAD$.
Из второго пункта следует, что $∠ACE = ∠CAD$.
Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $∠AEC = ∠BAD = ∠CAD = ∠ACE$.
Отсюда следует, что $∠AEC = ∠ACE$.

В треугольнике $ACE$ два угла равны: угол при вершине $E$ равен углу при вершине $C$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов ($AC$ и $AE$), также равны.

Ответ: треугольник $ACE$ — равнобедренный.

Условие 2015-2022.

134. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $C$ проведена прямая, которая параллельна прямой $AD$ и пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Определите вид треугольника $ACE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).