Номер 4, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 4, страница 34.

Условие 2023.

4. По каким признакам можно установить, что параллелограмм является ромбом?

Решение 6 (2023).

Параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих достаточных условий (признаков):

1. Две смежные стороны параллелограмма равны

Если две смежные (соседние) стороны параллелограмма равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Доказательство: В параллелограмме ABCD противоположные стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Если мы знаем, что две смежные стороны равны, например $AB = BC$, то это означает, что все четыре стороны равны между собой: $AB = BC = CD = DA$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом по определению.

Ответ: Параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.

2. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны

Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то он является ромбом.
Доказательство: Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и $AC \perp BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них сторона BO — общая, $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма), и $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$ (по условию). Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон $AB = BC$. Так как у параллелограмма ABCD смежные стороны равны, то по первому признаку он является ромбом.

Ответ: Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

3. Диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла

Если одна из диагоналей параллелограмма делит угол, из которого она исходит, пополам, то этот параллелограмм — ромб.
Доказательство: Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle BAC = \angle DAC$. Так как стороны $BC$ и $AD$ параллельны, а AC является секущей, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. Таким образом, мы имеем $\angle BAC = \angle BCA$. Из равенства этих углов следует, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием AC. Значит, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Мы снова получили параллелограмм с равными смежными сторонами, который по первому признаку является ромбом.

Ответ: Параллелограмм, у которого диагональ является биссектрисой его угла, является ромбом.

Условие 2015-2022.

4. По каким признакам можно установить, что параллелограмм является ромбом?