Номер 130, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 130, страница 32.

Условие 2023.

130. Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей, $AB$ — данная сторона, равная $a$. По условию, угол между диагоналями, противолежащий стороне $AB$, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как $AO = BO$, то он является равнобедренным с основанием $AB$. В этом треугольнике нам известны основание $AB = a$ и угол при вершине $\angle AOB = \alpha$.

Углы при основании этого треугольника равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2$.

Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного треугольника $\triangle AOB$ по основанию $a$ и углам при основании, равным $90^\circ - \alpha/2$. Построив этот треугольник, мы найдем центр прямоугольника $O$ и две его вершины $A$ и $B$. Остальные вершины $C$ и $D$ можно найти, продлив отрезки $AO$ и $BO$ на их длину за точку $O$.

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $a$ и угол $\alpha$.

1. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha/2$. Для этого построим прямой угол ($90^\circ$), затем построим угол $\alpha$ и его биссектрису, чтобы получить угол $\alpha/2$. Вычтем из прямого угла угол $\alpha/2$. Обозначим полученный угол как $\beta = 90^\circ - \alpha/2$.
2. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
3. От луча $AB$ в одной полуплоскости отложим угол $\angle BAX = \beta$.
4. От луча $BA$ в той же полуплоскости отложим угол $\angle ABY = \beta$.
5. Лучи $AX$ и $BY$ пересекутся в некоторой точке $O$. Мы построили треугольник $\triangle AOB$.
6. Проведем прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой за точкой $O$ отложим отрезок $OC$, равный $AO$.
7. Проведем прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой за точкой $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$.
8. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма).

В треугольнике $\triangle AOB$ по построению $\angle OAB = \angle OBA = \beta = 90^\circ - \alpha/2$. Так как углы при основании равны, то $\triangle AOB$ — равнобедренный, и $AO = BO$.

Поскольку $AO = BO$, а также $AC = 2 \cdot AO$ и $BD = 2 \cdot BO$, то диагонали параллелограмма $ABCD$ равны: $AC = BD$.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Сторона $AB$ этого прямоугольника равна данной стороне $a$ по построению.

Угол между диагоналями, противолежащий стороне $AB$, это $\angle AOB$. Найдем его величину из $\triangle AOB$:$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - \alpha/2) = 180^\circ - 180^\circ + \alpha = \alpha$.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный по приведенному алгоритму четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Условие 2015-2022.

130. Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).