Номер 124, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 124, страница 31.

Условие 2023.

124. Постройте прямоугольник:

1) по стороне и диагонали;

2) по диагонали и углу между диагоналями.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка: сторона a и диагональ d. Для существования прямоугольника необходимо, чтобы диагональ была длиннее стороны ($d > a$). Построим прямоугольник ABCD со стороной AB = a и диагональю AC = d.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля отложим от точки A на прямой отрезок AB, равный длине данной стороны a.
3. Построим прямую, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через точку B. Так как все углы в прямоугольнике прямые, вершина C будет лежать на этой прямой.
4. Из точки A как из центра проведём дугу окружности радиусом, равным длине данной диагонали d.
5. Точка пересечения этой дуги с перпендикулярной прямой, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной прямоугольника — точкой C.
6. Для нахождения четвертой вершины D из точки C проведём дугу окружности радиусом, равным a, а из точки A — дугу радиусом, равным стороне BC (ее длину измеряем циркулем). Точка их пересечения будет вершиной D.
7. Соединим последовательно точки A, B, C, D отрезками.

Доказательство: Построенный четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как по построению его противолежащие стороны попарно равны ($CD=AB=a$ и $AD=BC$). Так как угол $\angle ABC$ по построению прямой ($90^{\circ}$), то этот параллелограмм является прямоугольником. Длины стороны AB и диагонали AC равны заданным отрезкам a и d соответственно.

Ответ: Построение выполнено.

2) по диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны отрезок d (диагональ) и угол $\alpha$ (угол между диагоналями). Используем свойства диагоналей прямоугольника: они равны и в точке пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Построим отрезок AC, равный данной диагонали d.
2. Найдем середину отрезка AC — точку O (например, построив серединный перпендикуляр).
3. Через точку O проведём прямую l, образующую с отрезком AC заданный угол $\alpha$. На этой прямой будет лежать вторая диагональ BD.
4. На прямой l отложим от точки O в обе стороны отрезки OB и OD, равные половине диагонали, то есть $d/2$. Длину $d/2$ можно взять, измерив циркулем отрезок AO.
5. Соединим последовательно точки A, B, C, D отрезками.

Доказательство: в построенном четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам ($AO=OC=BO=OD=d/2$). Следовательно, ABCD — параллелограмм. Так как диагонали этого параллелограмма равны ($AC=BD=d$), то ABCD является прямоугольником. Его диагональ равна d, а угол между диагоналями равен $\alpha$ по построению.

Ответ: Построение выполнено.

Условие 2015-2022.

124. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).