Номер 117, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямоугольник. Глава 1. Четырёхугольники - номер 117, страница 31.

Условие 2023.

117. На диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$ (точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ – параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства разобьём его на две части.

Доказательство того, что BKDM — параллелограмм

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. По свойству диагоналей прямоугольника, они в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим диагонали четырёхугольника $BKDM$ — это отрезки $BD$ и $MK$. Мы уже знаем, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Докажем, что $O$ также является серединой диагонали $MK$.

Поскольку $O$ — середина $AC$, то $AO = OC$. Так как точки $M$ и $K$ лежат на отрезке $AC$, мы можем записать длины отрезков $AO$ и $OC$ следующим образом: $AO = AM + MO$ и $OC = OK + KC$.

Приравнивая выражения для $AO$ и $OC$, получаем: $AM + MO = OK + KC$.

По условию задачи дано, что $AM = CK$. Подставим это равенство в предыдущее уравнение: $AM + MO = OK + AM$.

Вычитая $AM$ из обеих частей равенства, получаем $MO = OK$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MK$.

Мы показали, что диагонали четырёхугольника $BKDM$ (отрезки $BD$ и $MK$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $BKDM$ является параллелограммом.

Доказательство того, что BKDM не является прямоугольником

Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны. Диагоналями параллелограмма $BKDM$ являются $BD$ и $MK$. Докажем, что их длины не равны.

Длина диагонали $BD$ равна длине диагонали $AC$ исходного прямоугольника $ABCD$, так как диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.

Точки $M$ и $K$ лежат на диагонали $AC$. Из условия, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, следует, что точки на диагонали $AC$ расположены в порядке $A, M, K, C$. Длина всей диагонали $AC$ может быть выражена как сумма длин её частей: $AC = AM + MK + KC$.

Используя условие $AM = CK$, получаем: $AC = AM + MK + AM = 2 \cdot AM + MK$.

Отсюда выразим длину диагонали $MK$: $MK = AC - 2 \cdot AM$.

Поскольку на диагонали отложены отрезки $AM$ и $CK$, это подразумевает, что их длина не равна нулю, то есть $AM > 0$. Следовательно, и $2 \cdot AM > 0$.

Из этого следует, что $MK < AC$.

Поскольку $BD = AC$, мы можем заключить, что $MK < BD$.

Так как диагонали параллелограмма $BKDM$ не равны ($MK \neq BD$), он не является прямоугольником. Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

117. На диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$ (точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ – параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).