Номер 105, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 105, страница 26.

Условие 2023.

105. Точки $M, N, K$ и $P$ – середины сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых $AN, BK, CP$ и $DM$, – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Точки $M, N, K, P$ — середины сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно.

Обозначим точки пересечения прямых: $E = AN \cap DM$, $F = AN \cap BK$, $G = BK \cap CP$, $H = CP \cap DM$. Нам нужно доказать, что четырехугольник $EFGH$ — параллелограмм.

Доказательство будет основано на признаке параллелограмма: если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Мы докажем, что $AN \parallel CP$ и $DM \parallel BK$.

1. Докажем параллельность прямых $AN$ и $CP$.

Рассмотрим четырехугольник $APCN$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны и равны, то есть $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.

По условию, $P$ — середина $AD$, а $N$ — середина $BC$. Отсюда следует, что $AP = \frac{1}{2}AD$ и $NC = \frac{1}{2}BC$.

Так как $AD = BC$, то и их половины равны: $AP = NC$.

Так как отрезки $AP$ и $NC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, то $AP \parallel NC$.

Таким образом, в четырехугольнике $APCN$ две противолежащие стороны ($AP$ и $NC$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, $APCN$ является параллелограммом.

Следовательно, другая пара его противолежащих сторон также параллельна, то есть $AN \parallel PC$ (или $AN \parallel CP$).

2. Докажем параллельность прямых $DM$ и $BK$.

Рассмотрим четырехугольник $MBKD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

По условию, $M$ — середина $AB$, а $K$ — середина $CD$. Отсюда следует, что $MB = \frac{1}{2}AB$ и $KD = \frac{1}{2}CD$.

Так как $AB = CD$, то и их половины равны: $MB = KD$.

Так как отрезки $MB$ и $KD$ лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$, то $MB \parallel KD$.

Таким образом, в четырехугольнике $MBKD$ две противолежащие стороны ($MB$ и $KD$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, $MBKD$ является параллелограммом.

Следовательно, другая пара его противолежащих сторон также параллельна, то есть $DM \parallel BK$.

3. Заключение.

Рассмотрим четырехугольник $EFGH$. Его стороны лежат на прямых $AN, BK, CP, DM$.

Сторона $EF$ лежит на прямой $AN$, а сторона $HG$ — на прямой $CP$. Так как мы доказали, что $AN \parallel CP$, то $EF \parallel HG$.

Сторона $EH$ лежит на прямой $DM$, а сторона $FG$ — на прямой $BK$. Так как мы доказали, что $DM \parallel BK$, то $EH \parallel FG$.

В четырехугольнике $EFGH$ обе пары противолежащих сторон параллельны. Следовательно, по определению, $EFGH$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, образованный пересечением указанных прямых, является параллелограммом.

Условие 2015-2022.

105. Через середину $O$ диагонали $NP$ параллелограмма $MNKP$ проведена прямая, пересекающая стороны $MN$ и $KP$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ANBP$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).