Номер 99, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 99, страница 25.

Условие 2023.

99. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по двум диагоналям и стороне;

3) по стороне, диагонали и углу между ними.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$, и угол $\alpha$. Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $a$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle DAB$ равен $\alpha$.

Анализ:

Параллелограмм однозначно определяется двумя смежными сторонами и углом между ними. Построив треугольник $ABD$ по двум сторонам ($AB=a$, $AD=b$) и углу между ними ($\angle DAB = \alpha$), мы найдем три вершины параллелограмма. Четвертая вершина $C$ может быть найдена, используя свойство параллельности и равенства противоположных сторон параллелограмма ($BC \parallel AD$, $BC=AD=b$ и $CD \parallel AB$, $CD=AB=a$).

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. От луча с началом в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
3. На одной стороне угла от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный $a$.
4. На другой стороне угла от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный $b$. Таким образом, мы получим три вершины параллелограмма: $A$, $B$ и $D$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$ построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$ (длина стороны $AD$).
6. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $a$ (длина стороны $AB$).
7. Точка пересечения этих двух окружностей (отличная от $A$, если $a=b$) и будет искомой вершиной $C$.
8. Соединим точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, построенным по двум сторонам и углу между ними.

2) по двум диагоналям и стороне;

Пусть даны два отрезка $d_1$ и $d_2$, и отрезок $a$. Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны $d_1$ и $d_2$ соответственно, а сторона $AB$ равна $a$.

Анализ:

Ключевое свойство параллелограмма: его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$. Рассмотрим треугольник $ABO$. В нем известны все три стороны: $AB=a$, $AO = \frac{d_1}{2}$ и $BO = \frac{d_2}{2}$. Построив этот треугольник, мы найдем вершины $A$, $B$ и точку пересечения диагоналей $O$. Остальные вершины $C$ и $D$ строятся как точки, симметричные $A$ и $B$ относительно точки $O$. Для существования такого треугольника $ABO$ должно выполняться неравенство треугольника: $a < \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$.

Построение:

1. Построим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_1 = \frac{d_1}{2}$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_2 = \frac{d_2}{2}$.
4. Точка пересечения этих окружностей будет точкой $O$ — точкой пересечения диагоналей. (Если окружности пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них).
5. Проведем луч $AO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OC$, равный $AO$.
6. Проведем луч $BO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OD$, равный $BO$.
7. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, построенным по двум диагоналям и стороне.

3) по стороне, диагонали и углу между ними.

Пусть даны отрезки $a$ и $d$, и угол $\gamma$. Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB$ равна $a$, диагональ $AC$ равна $d$, а угол между ними $\angle CAB$ равен $\gamma$.

Анализ:

Заданные элементы (сторона $AB=a$, диагональ $AC=d$ и угол $\angle CAB=\gamma$) являются двумя сторонами и углом между ними для треугольника $ABC$. Построив этот треугольник, мы получим три вершины искомого параллелограмма: $A$, $B$, $C$. Четвертую вершину $D$ можно построить, используя свойство параллельности сторон ($AD \parallel BC$ и $CD \parallel BA$) или свойство диагоналей.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. От луча с началом в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\gamma$.
3. На одной стороне угла от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный $a$.
4. На другой стороне угла от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный $d$. Таким образом, мы получим три вершины параллелограмма: $A$, $B$ и $C$.
5. Для нахождения четвертой вершины $D$ проведем через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $BC$.
6. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную отрезку $AB$.
7. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой вершиной $D$.
8. Соединим точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, построенным по стороне, диагонали и углу между ними.

Условие 2015-2022.

99. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).