Номер 98, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 98, страница 25.

Условие 2023.

98. На рисунке 40 четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, $\angle BEC = \angle DFA$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм.

Рис. 40

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник $AECF$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажем, что стороны $AE$ и $FC$ равны и параллельны.

1. По условию, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Так как точка $E$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $CD$, то отрезки $AE$ и $FC$, являющиеся частями этих сторон, также лежат на параллельных прямых. Следовательно, $AE \parallel FC$.

2. Теперь докажем, что длины этих отрезков равны, то есть $AE = FC$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle DAF$ и $\triangle BCE$.

• $AD = BC$ (как противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$).
• $\angle ADF = \angle CBE$ (как противолежащие углы $\angle D$ и $\angle B$ параллелограмма $ABCD$).
• $\angle DFA = \angle BEC$ (по условию задачи).

3. В треугольниках $\triangle DAF$ и $\triangle BCE$ равны две пары углов ($\angle ADF = \angle CBE$ и $\angle DFA = \angle BEC$). Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому и третьи углы этих треугольников должны быть равны:

$\angle DAF = 180^\circ - \angle ADF - \angle DFA$

$\angle BCE = 180^\circ - \angle CBE - \angle BEC$

Из равенства правых частей следует, что $\angle DAF = \angle BCE$.

4. Таким образом, треугольники $\triangle DAF$ и $\triangle BCE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): $AD = BC$, $\angle ADF = \angle CBE$ и $\angle DAF = \angle BCE$.

5. Из равенства треугольников ($\triangle DAF \cong \triangle BCE$) следует равенство их соответствующих сторон: $DF = BE$.

6. Длины противолежащих сторон параллелограмма $ABCD$ равны, то есть $AB = CD$. Выразим длины отрезков $AE$ и $FC$:

$AE = AB - BE$

$FC = CD - DF$

Поскольку $AB = CD$ и $BE = DF$, то и разности равны: $AE = FC$.

7. Мы установили, что в четырехугольнике $AECF$ противолежащие стороны $AE$ и $FC$ параллельны (пункт 1) и равны (пункт 6). Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AECF$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AECF$ является параллелограммом, поскольку было показано, что одна пара его противолежащих сторон, $AE$ и $FC$, одновременно равна и параллельна.

Условие 2015-2022.

98. В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложили отрезок $MK$, равный отрезку $AM$. Определите вид четырёхугольника $ABKC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).