Номер 95, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 95, страница 25.

Условие 2023.

95. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи известно, что сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$), а угол $\angle A$ равен углу $\angle C$ ($\angle A = \angle C$). Требуется доказать, что $ABCD$ является параллелограммом.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AD$. Углы $\angle A$ и $\angle D$ являются односторонними внутренними углами при этих параллельных прямых и секущей. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:
$ \angle A + \angle D = 180^\circ $

2. Из условия задачи нам известно, что $\angle A = \angle C$. Выполним замену в равенстве, полученном в предыдущем шаге, подставив $\angle C$ вместо $\angle A$:
$ \angle C + \angle D = 180^\circ $

3. Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$, а в качестве секущей — прямую $CD$. Углы $\angle C$ и $\angle D$ являются односторонними внутренними углами для прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$.

4. Мы доказали, что сумма этих углов равна $180^\circ$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны. Следовательно, $BC \parallel AD$.

5. Таким образом, мы имеем четырёхугольник $ABCD$, в котором:
- $AB \parallel CD$ (по условию)
- $BC \parallel AD$ (по доказанному)

По определению, четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

95. Точки $E$ и $F$ – соответственно середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).