Номер 89, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 89, страница 24.

Условие 2023.

89. Две окружности имеют общий центр $O$ (рис. 37). В одной из окружностей проведён диаметр $AB$, в другой — диаметр $CD$. Докажите, что четырёхугольник $ACBD$ — параллелограмм.

Рис. 37

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Отрезки $AB$ и $CD$ являются его диагоналями. По условию задачи, эти диагонали пересекаются в точке $O$, которая является общим центром двух окружностей.

Так как $AB$ — диаметр одной из окружностей с центром в точке $O$, то точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Это следует из того, что $AO$ и $BO$ являются радиусами этой окружности, а значит $AO = BO$.

Аналогично, так как $CD$ — диаметр второй окружности с тем же центром $O$, то точка $O$ является серединой отрезка $CD$. Это следует из того, что $CO$ и $DO$ являются радиусами второй окружности, а значит $CO = DO$.

Таким образом, в четырехугольнике $ACBD$ диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ACBD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как диагонали четырехугольника $ACBD$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Условие 2015-2022.

89. Можно ли квадрат размером $10 \times 10$ клеток разрезать на 25 фигур, которые состоят из четырёх клеток и имеют такой вид: $\begin{array}{ccc} \square & \square & \square \\ & \square & \end{array}$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).