Номер 85, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 85, страница 21.

Условие 2023.

85. Можно ли квадрат размером $10 \times 10$ клеток разрезать на 25 фигур, которые состоят из четырёх клеток и имеют такой вид: ■■■
 ■?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи применим метод раскраски. Раскрасим квадрат размером $10 \times 10$ клеток в два цвета (например, белый и черный) по принципу шахматной доски.

Общее количество клеток в квадрате составляет $10 \times 10 = 100$. Поскольку сторона квадрата четная (10), количество белых и черных клеток будет одинаковым: 50 белых и 50 черных.

Фигура, на которые предлагается разрезать квадрат — это Т-образное тетрамино, состоящее из 4 клеток. Проанализируем, сколько клеток каждого цвета может покрывать одно такое тетрамино на раскрашенной доске.

Независимо от расположения и ориентации, Т-образное тетрамино всегда будет покрывать либо 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого, либо наоборот. Это легко проверить: центральная клетка "перекладины" из трех клеток и примыкающая к ней четвертая клетка всегда имеют разный цвет. Две крайние клетки "перекладины" имеют тот же цвет, что и примыкающая четвертая клетка. Таким образом, фигура всегда покрывает 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. То есть, она всегда покрывает нечетное число белых клеток (1 или 3) и нечетное число черных клеток (3 или 1).

Предположим, что нам удалось разрезать квадрат $10 \times 10$ на 25 таких фигур.
Пусть $k$ — это количество тетрамино, которые покрывают 3 белых и 1 черную клетку.
Тогда $(25 - k)$ — это количество тетрамино, которые покрывают 1 белую и 3 черных клетки.

Подсчитаем общее число белых клеток, которое покроют все 25 фигур. Это число должно равняться 50.
Суммарное число белых клеток вычисляется по формуле:
$N_{белых} = k \cdot 3 + (25 - k) \cdot 1 = 3k + 25 - k = 2k + 25$.

Приравняем это значение к 50, так как на доске ровно 50 белых клеток:
$2k + 25 = 50$
$2k = 25$
$k = 12.5$

Полученное значение $k$ не является целым числом. Однако $k$ по определению — это количество фигур определенного типа, и оно должно быть целым (от 0 до 25). Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение о возможности такого разрезания было неверным.

Ответ: нет, нельзя.

Условие 2015-2022.

85. Через точку, принадлежащую углу, проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый внутри угла, данной точкой делился пополам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).