Номер 91, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 91, страница 24.

Условие 2023.

91. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом, воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. В нашем случае мы докажем, что стороны $MB$ и $DK$ равны и параллельны.

Дано:

• $ABCD$ — параллелограмм
• $M \in AB$, $K \in CD$
• $AM = CK$

Доказать:

• $MBKD$ — параллелограмм

Доказательство:

1. Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

2. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $CD$, то отрезки $MB$ и $DK$ лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$. Отсюда следует, что $MB \parallel DK$.

3. Найдем длины отрезков $MB$ и $DK$. Длина отрезка $MB$ вычисляется как разность длин отрезков $AB$ и $AM$: $MB = AB - AM$.

   Аналогично, длина отрезка $DK$ вычисляется как разность длин отрезков $CD$ и $CK$: $DK = CD - CK$.

4. Из пункта 1 мы знаем, что $AB = CD$. По условию задачи $AM = CK$. Так как мы вычитаем равные величины ($AM$ и $CK$) из равных величин ($AB$ и $CD$), то полученные в результате отрезки также будут равны:

   $MB = AB - AM = CD - CK = DK$.

   Следовательно, $MB = DK$.

5. Таким образом, мы установили, что в четырехугольнике $MBKD$ две противоположные стороны $MB$ и $DK$ равны ($MB = DK$) и параллельны ($MB \parallel DK$).

6. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $MBKD$ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $MB$ и $DK$ равны (поскольку $MB = AB - AM$ и $DK = CD - CK$, где $AB=CD$ и $AM=CK$) и параллельны (поскольку лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$).

Условие 2015-2022.

91. Четырёхугольники ABCD и AMKD – параллелограммы (рис. 35). Докажите, что четырёхугольник BMKC – параллелограмм.

Рис. 35

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).