Номер 101, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 101, страница 25.

Условие 2023.

101. Биссектрисы углов $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его диагональ $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ – параллелограмм.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник $AECF$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ исходного параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ является серединой диагонали $AC$ (то есть $AO = OC$) и серединой диагонали $BD$ (то есть $BO = OD$).

Диагоналями четырехугольника $AECF$ являются отрезки $AC$ и $EF$. Мы уже установили, что точка $O$ — середина $AC$. Теперь нам нужно доказать, что $O$ также является серединой отрезка $EF$, то есть что $EO = FO$.

Для этого рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CBF$.

1. Стороны $AD$ и $CB$ равны, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма $ABCD$ ($AD = CB$).

2. Углы $\angle ADE$ и $\angle CBF$ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$ ($\angle ADE = \angle CBF$).

3. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ равны. По условию, $AE$ — биссектриса угла $\angle A$ ($\angle DAB$), а $CF$ — биссектриса угла $\angle C$ ($\angle BCD$). Следовательно, половины этих углов также равны: $\angle DAE = \frac{1}{2}\angle DAB = \frac{1}{2}\angle BCD = \angle BCF$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADE$ равен треугольнику $\triangle CBF$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $DE = BF$.

Мы знаем, что точка $O$ является центром симметрии отрезка $BD$, так как это его середина ($BO = OD$). Равенство $DE = BF$ означает, что точки $E$ и $F$ находятся на одинаковом расстоянии от концов диагонали $D$ и $B$ соответственно. Из-за симметрии отрезка $BD$ относительно его центра $O$, следует, что точки $E$ и $F$ также симметричны относительно точки $O$. Таким образом, их расстояния до центра равны: $OE = OF$.

Итак, мы показали, что точка $O$ является серединой обеих диагоналей ($AC$ и $EF$) четырехугольника $AECF$. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $AECF$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

101. На рисунке 39 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BCP = \angle DAE$. Докажите, что четырёхугольник $APCE$ — параллелограмм.

Рис. 37 Рис. 38 Рис. 39

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).